Integral Gaussiana
A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana e−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:
Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.
A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para , mas a integral definida pode ser calculada.
Generalizações
[editar | editar código-fonte]A integral de uma função gaussiana
[editar | editar código-fonte]A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis
ou de forma equivalente
Demonstração
[editar | editar código-fonte]Em coordenadas polares
[editar | editar código-fonte]Uma forma simples se calcular, cuja ideia remonta a Siméon Denis Poisson[1] é considerar a função e−(x2 + y2) = e−r2 no plano R2, e calcular a mesma integral de duas formas:
- por um lado, a integral dupla no sistema de coordenadas cartesiano se escreve como um quadrado de integrais :
- por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e vale .
Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.
Resolução
[editar | editar código-fonte]A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:
Denotaremos a integral por , como se segue:
Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral
Observemos que essa multiplicação nos dá , pois os valores das duas integrais em e em são exatamente os mesmos.
- .
A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que . É coerente notar que a região de integração é todo o plano , portanto deve percorrer de 0 até e o ângulo de 0 à 2 . Assim a integral
é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2. Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em e depois integrando o resultado em da seguinte forma :
Teremos então:
Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ «The probability integral» (PDF) (em inglês). Universidade de York. Consultado em 21 de março de 2023
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral». MathWorld (em inglês)