Topologia algébrica

Topologia algébrica é ramo da matemática que faz a ligação entre a topologia e a álgebra. Baseia-se na associação de estruturas algébricas a um espaço topológico com o objetivo de obter informações sobre esse espaço. Os exemplos básicos são os grupos de homologia e os grupos de homotopia, entre os quais se encontra o grupo fundamental.

Embora a topologia algébrica utilize a álgebra para estudar os problemas de topologia, a recíproca, usar a topologia para resolver problemas de álgebra, é por vezes também possível. A topologia algébrica, por exemplo, permite uma demonstração conveniente de que qualquer subgrupo de um grupo livre é também um grupo livre.

Ramos principais da topologia algébrica

Grupos de Homotopia

Os grupos de homotopia são usados na matemática para classificar espaços topológicos. De maneira intuitiva, pode se dizer que grupos de homotopia armazenam informação sobre o formato do espaço, ou a quantidade de "buracos".

Homologia

Homologia é um procedimento utilizado para associar uma sequência de grupo abelianos a um objeto matemático, como um espaço topológico, usado na álgebra e na topologia.

Variedades

Variedades são estruturas topológicas que se assemelham em cada ponto a um espaço euclidiano, e são de certa forma uma generalização de superfícies. Exemplos são o plano projetivo, o toro, a esfera e a garrafa de Klein, considerando que a garrafa de Klein e o plano projetivo não podem ser descritos sem pontos de interceptação no espaço tridimensional usual.

Simplexos

Simplexos seriam, de forma intuitiva, a forma n-dimensional de prismas, construídos por combinação convexa de n+1 vetores geometricamente independentes. Complexos simpliciais são conjuntos de simplexos, que se relacionam de forma a construir um poliedro n-dimensional. Ambos os conceitos são utilizados na triangulação e classificação de espaços topológicos.

Referências

• Munkres, James R. (2000). Topology. [S.l.]: Prentice Hall, Incorporated. ISBN 9780131816299 .

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521795400. 

• Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology. [S.l.]: Mir. 454 páginas. ISBN 5855012034. 

• Nakahara, Mikio (2003). Geometry,Topology and physics. [S.l.]: Institute of Physics. 573 páginas