Sari la conținut

Divizibilitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică noțiunea de divizor a apărut inițial în contextul aritmeticii numerelor întregi. Odată cu dezvoltarea inelelor, dintre care întregii sunt arhetipul, noțiunea originală de divizor a fost extinsă natural.

Divizibilitatea este un concept util pentru analiza structurii inelelor comutative din cauza relației sale cu structura idealelor unor astfel de inele.

În inelul numerelor întregi fie elementele .

  • este un divizor al lui , deoarece la cu restul sau, exprimat diferit și mai potrivit pentru generalizare, există astfel încât .
  • nu este un divizor al lui , deoarece la cu restul nu există nici un astfel încât .

În corpul numerelor reale , o extindere a numerelor întregi, avem

  • încă este un divizor al lui , deoarece la există astfel încât .
  • devine un divizor al lui , deoarece la , acesta este acum un număr real în respectiv există astfel încât .

În inelul de polinoame cu coeficienți întregi avem

  • este un divizor al lui , deoarece prin împărțirea polinomială cu restul există astfel încât .
  • nu este un divizor al lui , deoarece la cu restul nu există nici un astfel încât . De fapt, se poate arăta că nu are niciun divizor netrivial, ceea ce în acest caz înseamnă că polinomul de gradul al doilea nu are divizori liniari, cum ar fi .

În inelul de polinoame cu coeficienți reali , o extindere a polinoamelor cu coeficienți întregi, avem

  • încă este un divizor al lui , deoarece la există astfel încât .
  • are divizori netriviali, explicit , deoarece la există astfel încât . De observat că tot nu este un divizor al lui , din același motiv ca la de mai sus.

Aceste exemple ilustrează faptul că noțiunea de divizibilitate nu depinde numai de elementele și în sine, ci și de contextul structurii algebrice a unui inel de care aparțin și operația de înmulțire. În general, divizibilitatea se conservă în extinderi, unde poate fi dobândită mai multă divizibilitate.

Fie R un inel (în acest articol, se presupune că inelele au elementul 1) și a și b elemente ale lui R . Dacă există un element x în R cu ax = b, se spune că a este un divizor la stânga al lui b, iar acel b este un multiplu la dreapta al lui a.[1] Similar, dacă există un element y în R cu ya = b, se spune că a este un divizor la dreapta al lui b, iar acel b este un multiplu la stânga lui a. Se spune că a este un divizor al lui b dacă este atât un divizor la stânga, cât și un divizor la dreapta al lui b; variabilele x și y de mai sus nu trebuie să fie egale.

Când R este comutativ, noțiunile de „divizor la stânga” și „divizor la dreapta” coincid, așa că se spune simplu că a este un „divizor” al lui b, sau că acel b este un multiplu al lui a, și se scrie . Elementele a și b ale unui domeniu de integritate sunt asociate dacă există atât cât și . Relația de asociere este o relație de echivalență pe R, deci împarte R în clase de echivalență⁠(d) disjuncte.

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]

Enunțurile despre divizibilitatea într-un inel comutativ R pot fi traduse în enunțuri despre ideale principale. De exemplu,

  • dacă și numai dacă .
  • Elementele a și b sunt asociate dacă și numai dacă .
  • Un element u este o unitate⁠(d) dacă și numai dacă u este un divizor al fiecărui element din R.
  • Un element u este o unitate dacă și numai dacă .
  • Dacă pentru o unitate u, atunci a și b sunt asociate. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci reciproca este adevărată.
  • Fie R un domeniu de integritate. Dacă elementele din R sunt total ordonate după divizibilitate, atunci R se numește inel de valuare⁠(d).

Mai sus este idealul principal al generat de elementul .

Zero ca divizor și ca divizor al lui zero

[modificare | modificare sursă]
  • Unii autori cer ca definiția divizorului a să conțină faptul că divizorul trebuie fie diferit de zero, dar acest lucru face ca unele dintre proprietățile de mai sus să eșueze.
  • Dacă se interpretează definiția divizorului literal, orice a este un divizor al lui 0, deoarece se poate lua x = 0. Din această cauză tradițional se abuzează de terminologie făcând o excepție pentru divizorii lui zero: un element a dintr-un inel comutativ se numește divizor al lui zero dacă există un x nenul astfel încât ax = 0.[2]
  1. ^ Bourbaki, p. 97
  2. ^ Bourbaki, p. 98
  • en Bourbaki, N. () [1970], Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, ISBN 9783540642435