Pavare trihexagonală snub

Descriere
Pavare trihexagonală snub

Tip	pavare uniformă
Configurația vârfului	3.3.3.3.6
Configurația feței	V3.3.3.3.3.3 (sau V3⁶)
Simbol Wythoff	\| 6 3 2
Simbol Schläfli	$sr$ {6,3} sau $s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	p6, [6,3]⁺, (632)
Grup de rotație	p6, [6,3]⁺, (632)
Poliedru dual	pavare pentagonală floare
Proprietăți	chirală, tranzitivă pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie pavarea hexagonală snub sau pavarea trihexagonală snub este o pavare semiregulată a planului euclidian, în care în fiecare vârf se întâlnesc câte patru triunghiuri echilaterale și un hexagon. Are simbolul Schläfli $sr$ {3,6}. Pavarea tetrahexagonală snub este o pavare hiperbolică înrudită, cu simbolul Schläfli $sr$ {4,6}.

Există trei pavări regulate ale planului și opt pavări uniforme. În afară de pavarea hexagonală, celelalte două pavări regulate sunt pavarea triunghiulară și pavarea pătrată. Cea de față este singura care nu are o simetrie de reflexie.

Există o singură colorare uniformă a unei pavări trihexagonale snub. (Identificarea culorilor prin indici în ordinea „3.3.3.3.6” dă „11213”.)

Împachetarea cercurilor

Pavarea trihexagonală snub poate fi folosită la împachetarea cercurilor, plasând cercuri de diametre egale în fiecare vârf. Fiecare cerc este în contact cu alte 5 cercuri din pavare (număr de contacte).^[1] Domeniul rețelei (un romb) se repetă pentru fiecare 6 cercuri distincte. Golurile hexagonale pot fi umplute cu exact un cerc, ducând la cea mai densă împachetare din pavarea triunghiulară.

Poliedre și pavări înrudite

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme
Domenii fundamentale	Simetrie: [6,3], (*632)							[6,3]⁺, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}


Config.	6³	3.12.12	(6.3)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Variante de simetrie

Această pavare semiregulată este un membru al unei secvențe de poliedre și pavări snub cu figura de vârfului (3.3.3.3.n) și diagrama Coxeter–Dynkin . Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32), existînd în planul euclidian pentru $n$ = 6 și în planul hiperbolic pentru orice $n$ mai mare. Seria poate fi considerată că începe cu $n$ = 2, cu un set de fețe degenerat în digoane.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie n32	Sferice				Euclidiană	Hiperbolice compacte		Paracomp.
Simetrie n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Imagini snub
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Imagini giro
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Pavare pentagonală floare

Descriere
Pavare pentagonală floare

Tip	dual pavare uniformă
Configurația vârfului	3.3.3.3.6
Configurația feței	V3.3.3.3.6
Simbol Wythoff	\| 6 3 2
Simbol Schläfli	sr{6,3} sau $s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	p6, [6,3]⁺, (632)
Grup de rotație	p6, [6,3]⁺, (632)
Poliedru dual	pavare trihexagonală snub
Proprietăți	chirală, tranzitivă pe fețe

În geometrie pavarea pentagonală floare este o pavare duală semiregulată a planului euclidian.^[2]^[3] Este una dintre cele 15 pavări pentagonale izoedrice cunoscute. Cele șase dale pentagonale radiază dintr-un punct central, ca petalele unei flori.^[4] Fiecare dintre fețele sale pentagonale are patru unghiuri de 120° și un unghi de 60°.

Este duala pavării trihexagonale snub uniforme.^[5]

Variații

Pavarea pentagonală floare are variații geometrice cu lungimi inegale ale laturilor și simetrie de rotație, care sunt pavări pentagonale de tip 5. La limită, lungimea laturii devine zero și aceasta devine pavarea trihexagonală rombică.

Generală	Lungime zero degenerată	Cazuri particulare
(v. animația)	Pavare trihexagonală romboidală
a=b, d=e A=60°, D=120°	a=b, d=e, c=0 A=60°, 90°, 90°, D=120°	a=b=2c=2d=2e A=60°, B=C=D=E=120°	a=b=d=e A=60°, D=120°, E=150°	2a=2b=c=2d=2e 0°, A=60°, D=120°	a=b=c=d=e 0°, A=60°, D=120°

Pavări k-uniforme și duale k-uniforme înrudite

Există mai multe pavări k-uniforme ale căror duale amestecă buchetele de 6 dale pentagonale cu alte feluri de dale; de exemplu, etichetarea F pentru V3⁴.6, C pentru V3².4.3. 4, B pentru V3³.4², H pentru V3⁶:

uniformă (trihexagonală snub)	2-uniformă		3-uniformă
F, p6 (t=3, e=3)	FH, p6 (t=5, e=7)	FH, p6m (t=3, e=3)	FCB, p6m (t=5, e=6)	FH², p6m (t=3, e=4)	FH², p6m (t=5, e=5)

dual uniformă (pentagonală floare)	dual 2-uniformă		dual 3-uniformă

3-uniformă		4-uniformă
FH², p6 (t=7, e=9)	F²H, cmm (t=4, e=6)	F²H², p6 (t=6, e=9)	F³H, p2 (t=7, e=12)	FH³, p6 (t=7, e=10)	FH³, p6m (t=7, e=8)

dual 3-uniformă		dual 4-uniformă

Fractalizare

Înlocuirea fiecărui hexagon V3⁶ cu un rombitrihexagon furnizează o pavare uniformă cu 6 poziții, două vârfuri de 4.6.12 și două vârfuri de 3.4.6.4.

Înlocuirea fiecărui hexagon V3⁶ cu un hexagon trunchiat furnizează o placă uniformă cu 8 poziții, cinci vârfuri de 3².12, două vârfuri de 3,4 .3.12 și un vârf de 3.4.6.4.

Înlocuirea fiecărui hexagon V3⁶ cu un trihexagon trunchiat furnizează o pavare uniformă cu 15 poziții, douăsprezece vârfuri de 4.6.12, două vârfuri de 3,4² .6 și un vârf de 3.4.6.4.

În fiecare pavare fractală, fiecare vârf dintr-un domeniu pentagonal floare se află pe o orbită diferită, deoarece nu există o simetrie chirală (domeniile au lungimile laturilor în raport de 3:2 de $1+{\frac {1}{\sqrt {3}}}:2+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$ în cea rombitrihexagonală; $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}:2+{\frac {4}{\sqrt {3}}}$ în cea hexagonală trunchiată și $1+{\sqrt {3}}:2+2{\sqrt {3}}$ în cea trihexagonală trunchiată).

Fractalizarea pavărilor trihexagonale snub utilizând pavările rombitrihexagonală, hexagonală trunchiată și trihexagonală trunchiată
Rombitrihexagonală	Hexagonală trunchiată	Trihexagonală trunchiată

Alte pavări înrudite

Pavări hexagonale/triughiulare uniforme duale
Simetrie: [6,3], (*632)						[6,3]⁺, (632)

V6³	V3.12²	V(3.6)²	V3⁶	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3⁴.6

Note

^ en Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, pattern E
^ en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things, 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5
^ en „A K Peters, LTD. - The Symmetries of Things”. Arhivat din original la 19 septembrie 2010. Accesat în 20 ianuarie 2012. (Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 288, table)
^ en Five space-filling polyhedra by Guy Inchbald
^ en Eric W. Weisstein, Dual tessellation la MathWorld.

Bibliografie

en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]
en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc. p. 39, ISBN: 0-486-23729-X
en Keith Critchlow, Order in Space: A design source book, 1970, p. 69-61, Pattern R, Dual p. 77-76, pattern 5
en Dale Seymour and Jill Britton, Introduction to Tessellations, 1989, ISBN: 978-0866514613, pp. 50–56, dual rosette tiling p. 96, p. 114

Legături externe

Materiale media legate de pavare trihexagonală snub la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Uniform tessellation la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Semiregular tessellation la MathWorld.
en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings s3s6s - snathat - O11”.

Portal Matematică

[Critchlow-1] Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, pattern E

[2] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things, 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5

[3] „A K Peters, LTD. - The Symmetries of Things”. Arhivat din original la 19 septembrie 2010. Accesat în 20 ianuarie 2012. (Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 288, table)

[4] Five space-filling polyhedra by Guy Inchbald

[5] Eric W. Weisstein, Dual tessellation la MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]