Теория Галуа

См. также: Дифференциальная теория Галуа

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Приложения

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение

У многочлена второй степени $ax^{2}+bx+c$ имеются два корня $x_{1}$ и $x_{2}$, симметричных относительно точки $x=-b/(2a)$. Возможны два варианта:

• Если эти корни рациональны, то уравнению $x-x_{1}=0$ удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
• Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент $x_{1}\Leftrightarrow x_{2}$ и изоморфна $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен $(x^{2}-5)^{2}-24$.

Его корни: $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Существует $4!=24$ различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — $a+d=0$. Поскольку $a+c\neq 0$, перестановка $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$ не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что $(a+b)^{2}=8$, но $(a+c)^{2}=12$. Поэтому перестановка $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$ не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

$(a,b,c,d)\to (a,b,c,d),$

$(a,b,c,d)\to (c,d,a,b),$

$(a,b,c,d)\to (b,a,d,c),$

$(a,b,c,d)\to (d,c,b,a)$

и является четверной группой Клейна, изоморфной $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

Формулировка в терминах теории полей

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения $L\supset K$. Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q}$.

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения $P(x)=0$ выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима.

Для любого $n$ существует уравнение $n$-й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе $S_{n}$, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы $S_{n}$ при $n>4$ не являются разрешимыми, существуют многочлены степени $n$, корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.

Вариации и обобщения

• Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов).
  • В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств тензорных произведений полей.

Литература

• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. — М.: Наука.

• Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978. (недоступная ссылка)

• Постников М. М. Теория Галуа. Архивная копия от 2 апреля 2014 на Wayback Machine — М.: Физматгиз, 1963.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
• Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
• Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
• Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.

Ссылки

• Р. Борчердс, Плейлист «Galois theory» на YouTube