Расширение поля

Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе) $K$ — поле $E$ , содержащее данное поле $K$ в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определения

Если $E$ — поле, его подполе — это его подмножество $K$ , замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле $E$ . В этом случае $E$ называется расширением поля $K$ , заданное расширение обычно обозначают $E\supset K$ (также используются обозначения $E/K$ и $K\subset E$ ). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения $E\supset K$ эквивалентно заданию гомоморфизма $f:K\to E$ .

Если задано расширение $E\supset K$ и подмножество $S$ поля $E$ , то наименьшее подполе $E$ , содержащее $K$ и $S$ , обозначается $K(S)$ и называется полем, порождённым множеством $S$ над полем $K$ . Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.

Для любого расширения $E\supset K$ поле $E$ является векторным пространством над полем $K$ . В этой ситуации элементы $E$ можно понимать как «векторы», а элементы $K$ — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле $E$ . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается $[E:K]$ . Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

Примеры

Поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ является расширением поля действительных чисел $\mathbb {R}$ . Это расширение конечно: $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ , так как $(1,i)$ является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.

Множество $\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$ является расширением поля $\mathbb {Q}$ , которое, очевидно, является простым. Конечные расширения $\mathbb {Q}$ называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена $f(x)$ — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному $f(x)$ . Например, пусть поле $K$ не содержит корня уравнения $x^{2}=-1$ . Следовательно, многочлен $x^{2}+1$ является неприводимым в $K$ , следовательно, идеал $(x^{2}+1)$ — максимальный, а значит факторкольцо $K[x]/(x^{2}+1)$ является полем. Это поле содержит корень уравнения $x^{2}+1=0$ — образ многочлена $x$ при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Алгебраичность и трансцендентность

Пусть $E$ — расширение поля $K$ . Элемент $E$ называется алгебраическим над $K$ , если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в $K$ . Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения $\mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению $x^{2}+1=0$ .

Особенно важен частный случай расширений $\mathbb {C} \supset \mathbb {Q}$ : термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения $E\supset K$ является алгебраическим над $K$ , $E\supset K$ называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество $S$ поля $E$ называется алгебраически независимым над $K$ , если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в $K$ , такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из $S$ получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество $S$ , такое что $E\supset K(S)$ является алгебраическим расширением. Множество $S$ , удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы $E\supset K$ , являющиеся алгебраическими над $K$ — это сами элементы $K$ .

Расширения Галуа

Алгебраическое расширение $E\supset K$ называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен $f(x)$ над $K$ , имеющий хотя бы один корень в $E$ , разлагается в $E$ на линейные множители.

Алгебраическое расширение $E\supset K$ называется сепарабельным, если каждый элемент $E$ является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения $E\supset K$ можно рассмотреть группу автоморфизмов поля $E$ , действующих тождественно на поле $K$ . Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения $E\supset K$ часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя $E$ , содержащие $K$ ). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

Литература

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — т. 1. — М.: ИЛ, 1963.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.