Вики-текст старой страницы до правки (old_wikitext ) | '{{redirect|Деление|Деление (значения)|для просмотра других значений}}
[[Файл:Divide20by4.svg|thumb|<math>20: 4=5</math>]]
'''Деле́ние''' (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное [[умножение|умножению]]. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует [[Знак деления|несколько символов]], используемых для обозначения оператора деления.
Подобно тому, как [[умножение]] заменяет неоднократно повторенное [[сложение]], деление заменяет неоднократно повторенное [[вычитание]].
Рассмотрим, например, такой вопрос:
'''Сколько раз 3 содержится в 14?'''
Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.
В этом случае число 14 называется '''[[Делимое|делимым]]''', число 3 — '''[[Делитель|делителем]]''', число 4 — '''[[Неполное частное|(неполным) частным]]''' и число 2 — '''[[Остаток от деления|остатком (от деления)]]'''.
Результат деления также называют '''отношением'''.
== Деление [[Натуральное число|натуральных чисел]] ==
[[Файл:LongDivisionAnimated.gif|thumb|[[Деление столбиком]]]]
[[Кольцо (алгебра)|Кольцо]] целых чисел не [[Замкнутая операция|замкнуто]] относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о ''делении без остатка''.
Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В [[Средние века]] «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, {{нп3|en:Short division|деление в виде корабля}}).
Появление [[Деление столбиком|деления столбиком]] радикально изменило эту ситуацию — теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями. Однако так же, как и в случае с умножением (см. [[быстрое умножение]]), в последнее время открыты более эффективные алгоритмы (см. [[:en:Division (digital)]], применяющиеся в вычислительной технике.
Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка ([[признаки делимости]]). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.
Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их '''общим делителем'''.
Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и [[простое число]]. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом.
В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о [[Деление с остатком|делении с остатком]]. Рассмотрение остатков, их [[Сравнение по модулю|сравнение]] и формализация в виде вычетов привели к целой науке — [[Теория чисел|теории чисел]].
Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):
: <math>a = p\cdot q + r</math>. <math>0\leqslant r<|p|</math>.
Где <math>a</math> — делимое, <math>p</math> — делитель, <math>q</math> — частное и <math>r</math> — остаток.
== Деление [[Целое число|целых чисел]] ==
Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть [[правило знаков]].
Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, <math>-7 / (-3) = 2</math> с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:
: <math>-7 \equiv 2 \pmod 3</math>.
== Деление рациональных чисел ==
[[Замыкание]] множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного [[целое число|целого числа]] на другое всегда является [[рациональное число]]. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).
Правило деления обыкновенных дробей:
<math>\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} = \frac{ad}{bc}</math>
== Деление вещественных чисел ==
Деление также замкнуто в [[Поле (алгебра)|поле]] ненулевых вещественных чисел. [[Дедекиндово сечение]] позволяет однозначно определить результат деления.
== Деление комплексных чисел ==
Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления.
* В алгебраической форме результат можно получить путём домножения на сопряжённое число:
: <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math>. Результат определён для всех <math>c+di\neq 0=0+0i</math>
* В экспоненциальной форме легче всего получить результат:
: <math>\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\varphi_1-\varphi_2)}</math>. Видно, что при этом '''модули делятся''', а '''аргументы вычитаются'''.
* Аналогично в тригонометрической форме:
: <math>\frac{r_1 (\cos\varphi_1 +i \sin\varphi_1)}{r_2 (\cos\varphi_2 +i \sin\varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i \sin(\varphi_1-\varphi_2))</math>.
== Деление в алгебре ==
В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.
Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если [[единичный элемент]] вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то [[обратный элемент]] часто может быть как левым (<math>x^{-1}*x=e</math>), так и правым (<math>x*x^{-1}=e</math>). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.
К примеру, отношение [[Матрица (математика)|матриц]] определяется через обратную матрицу, при этом даже для [[Квадратная матрица|квадратных матриц]] может быть:
: <math>B^{-1}\cdot A \neq A\cdot B^{-1}</math>.
Отношение [[тензор]]ов в общем случае не определено.
== Деление [[многочлен]]ов ==
В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:
: <math>5334_8 = 5\cdot 8^3 + 3\cdot 8^2 + 3\cdot 8^1 + 4\cdot 8^0 = \left.(5x^3+3x^2+3x+4)\right|_{x=8}</math>.
Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо [[Деление многочленов столбиком|деление столбиком]].
Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.
== Деление на ноль ==
По правилам стандартной арифметики деление на [[0 (число)|число 0]] запрещено<!--, поскольку оно приводит к противоречию-?-->.
Другое дело — деление на [[Бесконечно малая|бесконечно малую]] функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется ''неопределённостью'' 0/0, которую можно преобразовать (см. [[раскрытие неопределённостей]]) с тем, чтобы получить определённый результат.
Как следует из определения операции деления, результатом операции 0:0 может считаться любое действительное число, таким образом, значение операции 0:0 <i>неопределенно</i>.
Это не соответствует стандартному определению [[Бинарная_операция|бинарной операции]], согласно которому результатом операции с двумя числами может быть только единственное значение.
Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.<br>
Результат этой операции считается бесконечно большим и равным [[Бесконечность|бесконечности]]:<br>
<math>a:0=\infty</math>, где <math>a \neq 0</math><br>
Смысл этого выражения состоит с том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным <i>a</i> или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).<br>
Поскольку бесконечность не является действительным числом, то такая операция выходит за пределы алгебры действительных чисел, если бинарная операция в ней определяется как <math>R\times R\to R</math>.
<!-- Деление на ноль породило [[интернет-мем]], в котором утверждается, что если поделить на ноль, то должно произойти что-то катастрофическое --дополнение очевидное, но значимость сомнительна -->.
== См. также ==
{{wiktionary|деление}}
* [[Признаки делимости]]
* [[Наибольший общий делитель]]
* [[Наименьшее общее кратное]]
* [[Деление многочленов столбиком]]
* [[Деление столбиком]]
* [[Остаток от деления]]
* [[Деление с остатком]]
[[Категория:Деление| ]]
[[als:Division (Mathematik)]]
[[an:División]]
[[ar:قسمة]]
[[arz:قسمه]]
[[ay:Jaljayaña]]
[[az:Bölmə (riyaziyyat)]]
[[be:Дзяленне]]
[[be-x-old:Дзяленьне]]
[[bg:Деление]]
[[br:Rannadur]]
[[bs:Dijeljenje (matematika)]]
[[ca:Divisió]]
[[cs:Dělení]]
[[cy:Rhannu (mathemateg)]]
[[da:Division (matematik)]]
[[de:Division (Mathematik)]]
[[el:Διαίρεση]]
[[en:Division (mathematics)]]
[[eo:Divido]]
[[es:División (matemática)]]
[[et:Jagamine]]
[[eu:Zatiketa (matematika)]]
[[fa:تقسیم]]
[[fi:Jakolasku]]
[[fr:Division]]
[[gan:除法]]
[[gd:Roinn (matamataig)]]
[[gl:División (matemáticas)]]
[[he:חילוק]]
[[hr:Dijeljenje]]
[[hu:Osztás]]
[[ia:Division (mathematica)]]
[[id:Perbagian]]
[[io:Divido (matematiko)]]
[[is:Deiling]]
[[it:Divisione (matematica)]]
[[ja:除法]]
[[ko:나눗셈]]
[[la:Divisio (mathematica)]]
[[lt:Dalyba]]
[[lv:Dalīšana]]
[[ml:ഹരണം]]
[[mwl:Debison (matemática)]]
[[nah:Tlaxēxelōliztli (tlapōhualmatiliztli)]]
[[nl:Delen]]
[[nn:Divisjon]]
[[no:Divisjon (matematikk)]]
[[nov:Divisione]]
[[pl:Dzielenie]]
[[pt:Divisão]]
[[qu:Rakiy]]
[[ro:Împărțire (matematică)]]
[[scn:Spartuta]]
[[simple:Division (mathematics)]]
[[sk:Delenec]]
[[sl:Deljenje]]
[[so:U qeybin]]
[[sr:Дељење]]
[[sv:Division (matematik)]]
[[ta:வகுத்தல் (கணிதம்)]]
[[te:భాగహారం]]
[[th:การหาร]]
[[tl:Paghahati]]
[[uk:Ділення]]
[[ur:تقسیم (ریاضی)]]
[[vec:Divixion]]
[[war:Pagtunga-tunga]]
[[xal:Хувалһн]]
[[zh:除法]]' |
Вики-текст новой страницы после правки (new_wikitext ) | '{{redirect|Деление|Деление (значения)|для просмотра других значений}}
[[Файл:Divide20by4.svg|thumb|<math>20: 4=5</math>]]
'''Деле́ние''' (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное [[умножение|умножению]]. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует [[Знак деления|несколько символов]], используемых для обозначения оператора деления.
Подобно тому, как [[умножение]] заменяет неоднократно повторенное [[сложение]], деление заменяет неоднократно повторенное [[вычитание]].
Рассмотрим, например, такой вопрос:
'''Сколько раз 3 содержится в 14?'''
Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.
В этом случае число 14 называется '''[[Делимое|делимым]]''', число 3 — '''[[Делитель|делителем]]''', число 4 — '''[[Неполное частное|(неполным) частным]]''' и число 2 — '''[[Остаток от деления|остатком (от деления)]]'''.
Результат деления также называют '''отношением'''.
== Деление [[Натуральное число|натуральных чисел]] ==
[[Файл:LongDivisionAnimated.gif|thumb|[[Деление столбиком]]]]
[[Кольцо (алгебра)|Кольцо]] целых чисел не [[Замкнутая операция|замкнуто]] относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о ''делении без остатка''.
Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В [[Средние века]] «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, {{нп3|en:Short division|деление в виде корабля}}).
Появление [[Деление столбиком|деления столбиком]] радикально изменило эту ситуацию — теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями. Однако так же, как и в случае с умножением (см. [[быстрое умножение]]), в последнее время открыты более эффективные алгоритмы (см. [[:en:Division (digital)]], применяющиеся в вычислительной технике.
Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка ([[признаки делимости]]). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.
Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их '''общим делителем'''.
Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и [[простое число]]. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом.
В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о [[Деление с остатком|делении с остатком]]. Рассмотрение остатков, их [[Сравнение по модулю|сравнение]] и формализация в виде вычетов привели к целой науке — [[Теория чисел|теории чисел]].
Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):
: <math>a = p\cdot q + r</math>. <math>0\leqslant r<|p|</math>.
Где <math>a</math> — делимое, <math>p</math> — делитель, <math>q</math> — частное и <math>r</math> — остаток.
== Деление [[Целое число|целых чисел]] ==
Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть [[правило знаков]].
Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, <math>-7 / (-3) = 2</math> с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:
: <math>-7 \equiv 2 \pmod 3</math>.
== Деление рациональных чисел ==
[[Замыкание]] множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного [[целое число|целого числа]] на другое всегда является [[рациональное число]]. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).
Правило деления обыкновенных дробей:
<math>\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} = \frac{ad}{bc}</math>
== Деление вещественных чисел ==
Деление также замкнуто в [[Поле (алгебра)|поле]] ненулевых вещественных чисел. [[Дедекиндово сечение]] позволяет однозначно определить результат деления.
== Деление комплексных чисел ==
Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления.
* В алгебраической форме результат можно получить путём домножения на сопряжённое число:
: <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math>. Результат определён для всех <math>c+di\neq 0=0+0i</math>
* В экспоненциальной форме легче всего получить результат:
: <math>\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\varphi_1-\varphi_2)}</math>. Видно, что при этом '''модули делятся''', а '''аргументы вычитаются'''.
* Аналогично в тригонометрической форме:
: <math>\frac{r_1 (\cos\varphi_1 +i \sin\varphi_1)}{r_2 (\cos\varphi_2 +i \sin\varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i \sin(\varphi_1-\varphi_2))</math>.
== Деление в алгебре ==
В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.
Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если [[единичный элемент]] вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то [[обратный элемент]] часто может быть как левым (<math>x^{-1}*x=e</math>), так и правым (<math>x*x^{-1}=e</math>). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.
К примеру, отношение [[Матрица (математика)|матриц]] определяется через обратную матрицу, при этом даже для [[Квадратная матрица|квадратных матриц]] может быть:
: <math>B^{-1}\cdot A \neq A\cdot B^{-1}</math>.
Отношение [[тензор]]ов в общем случае не определено.
== Деление [[многочлен]]ов ==
В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:
: <math>5334_8 = 5\cdot 8^3 + 3\cdot 8^2 + 3\cdot 8^1 + 4\cdot 8^0 = \left.(5x^3+3x^2+3x+4)\right|_{x=8}</math>.
Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо [[Деление многочленов столбиком|деление столбиком]].
Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.
== Деление на ноль ==
По правилам стандартной арифметики деление на [[0 (число)|число 0]] запрещено<!--, поскольку оно приводит к противоречию-?-->.
Другое дело — деление на [[Бесконечно малая|бесконечно малую]] функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется ''неопределённостью'' 0/0, которую можно преобразовать (см. [[раскрытие неопределённостей]]) с тем, чтобы получить определённый результат.
Как следует из определения операции деления, результатом операции 0:0 может считаться любое действительное число, таким образом, значение операции 0:0 <i>неопределенно</i><ref>М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике.</ref>.
Это не соответствует стандартному определению [[Бинарная_операция|бинарной операции]], согласно которому результатом операции с двумя числами может быть только единственное значение.
Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.<br>
Результат этой операции считается бесконечно большим и равным [[Бесконечность|бесконечности]]:<br>
<math>a:0=\infty</math>, где <math>a \neq 0</math><br>
Смысл этого выражения состоит с том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным <i>a</i> или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).<br>
Поскольку бесконечность не является действительным числом, то такая операция выходит за пределы алгебры действительных чисел, если бинарная операция в ней определяется как <math>R\times R\to R</math>.
<!-- Деление на ноль породило [[интернет-мем]], в котором утверждается, что если поделить на ноль, то должно произойти что-то катастрофическое --дополнение очевидное, но значимость сомнительна -->.
== См. также ==
{{wiktionary|деление}}
* [[Признаки делимости]]
* [[Наибольший общий делитель]]
* [[Наименьшее общее кратное]]
* [[Деление многочленов столбиком]]
* [[Деление столбиком]]
* [[Остаток от деления]]
* [[Деление с остатком]]
[[Категория:Деление| ]]
[[als:Division (Mathematik)]]
[[an:División]]
[[ar:قسمة]]
[[arz:قسمه]]
[[ay:Jaljayaña]]
[[az:Bölmə (riyaziyyat)]]
[[be:Дзяленне]]
[[be-x-old:Дзяленьне]]
[[bg:Деление]]
[[br:Rannadur]]
[[bs:Dijeljenje (matematika)]]
[[ca:Divisió]]
[[cs:Dělení]]
[[cy:Rhannu (mathemateg)]]
[[da:Division (matematik)]]
[[de:Division (Mathematik)]]
[[el:Διαίρεση]]
[[en:Division (mathematics)]]
[[eo:Divido]]
[[es:División (matemática)]]
[[et:Jagamine]]
[[eu:Zatiketa (matematika)]]
[[fa:تقسیم]]
[[fi:Jakolasku]]
[[fr:Division]]
[[gan:除法]]
[[gd:Roinn (matamataig)]]
[[gl:División (matemáticas)]]
[[he:חילוק]]
[[hr:Dijeljenje]]
[[hu:Osztás]]
[[ia:Division (mathematica)]]
[[id:Perbagian]]
[[io:Divido (matematiko)]]
[[is:Deiling]]
[[it:Divisione (matematica)]]
[[ja:除法]]
[[ko:나눗셈]]
[[la:Divisio (mathematica)]]
[[lt:Dalyba]]
[[lv:Dalīšana]]
[[ml:ഹരണം]]
[[mwl:Debison (matemática)]]
[[nah:Tlaxēxelōliztli (tlapōhualmatiliztli)]]
[[nl:Delen]]
[[nn:Divisjon]]
[[no:Divisjon (matematikk)]]
[[nov:Divisione]]
[[pl:Dzielenie]]
[[pt:Divisão]]
[[qu:Rakiy]]
[[ro:Împărțire (matematică)]]
[[scn:Spartuta]]
[[simple:Division (mathematics)]]
[[sk:Delenec]]
[[sl:Deljenje]]
[[so:U qeybin]]
[[sr:Дељење]]
[[sv:Division (matematik)]]
[[ta:வகுத்தல் (கணிதம்)]]
[[te:భాగహారం]]
[[th:การหาร]]
[[tl:Paghahati]]
[[uk:Ділення]]
[[ur:تقسیم (ریاضی)]]
[[vec:Divixion]]
[[war:Pagtunga-tunga]]
[[xal:Хувалһн]]
[[zh:除法]]' |