Смешанный объём

Смешанный объём — числовая характеристика набора из $n$ выпуклых тел в $n$ -мерном евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора $K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}$ обычно обозначается

V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})

.

Определение

Пусть $K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}$ набор из $n$ выпуклых тел в $\mathbb {R} ^{n}$ и $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ положительные вещественные числа. Обозначим через $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ объём тела

\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},

где « $+$ » обозначает сумму Минковского и

\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.

Функция $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ является однородным многочленом степени $n$ . Коэффициент этого многочлена при $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}$ по определению равен $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$ .

Заметим, что

v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_{2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.

Свойства

Для произвольных неотрицательных чисел $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ ,
$V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$
Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
Смешанный объём монотонен по включению тел.
Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
Смешанный объём неотрицателен.
- Более того, $V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0$ тогда и только тогда, когда в каждом $K_{i}$ можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
Для неотрицательного целого $k\leq n$ смешанный объём $n-k$ копий выпуклого тела $K$ в $\mathbb {R} ^{n}$ и $k$ копий единичного шара выражается через $k$ -тую среднюю поперечную меру $K$ . В частности
- Смешанный объём набора из $n$ копий $K$ равен обычному объёму $K$ .
- Смешанный объём набора из $n-1$ копий $K$ и единичного шара равен ${\frac {1}{n}}$ площади поверхности $K$ .
Типичное число решений системы полиномиальных уравнений $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ равно смешанному объёму многогранников Ньютона $f_{i}$ .
неравенство Минковского
$V^{n}(K,L,\dots ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$
неравенство Александрова — Фенхеля
$V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$