Теорема Банаха о неподвижной точке

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Теорема

Пусть $(\mathbb {X} ,\,d)$ — непустое полное метрическое пространство.

Пусть $T\colon \mathbb {X} \to \mathbb {X}$ — сжимающее отображение на $\mathbb {X}$, то есть существует число $0\leqslant \alpha <1$ такое, что

$d(Tx,\,Ty)\leqslant \alpha d(x,\,y),$ для всех $x,\,y$ из $\mathbb {X.}$

Тогда у отображения $T$ существует, и притом единственная, неподвижная точка $x^{*}$ из $\mathbb {X}$ (неподвижность $x^{*}$ означает , что $Tx^{*}=x^{*}$).

Число $\alpha$ часто называют коэффициентом сжатия.

Если число $\alpha$ равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Доказательство

Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства ${x\in \mathbb {X} }$ и рассмотрим последовательность $x_{1}=Tx,\;x_{2}=Tx_{1},\;\ldots ,\;x_{n+1}=Tx_{n}$.

Таким образом получим последовательность $\{x_{n}\}$.

Покажем, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле:

$d(x_{1},\,x_{2})=d(Tx,\,Tx_{1})\leqslant \alpha d(x,\,x_{1})=\alpha d(x,\,Tx),$

$d(x_{2},\,x_{3})=d(Tx_{1},\,Tx_{2})\leqslant \alpha d(x_{1},\,x_{2})\leqslant \alpha ^{2}d(x,\,Tx),$

$\ldots ,$

$d(x_{n},\,x_{n+1})\leqslant \alpha ^{n}d(x,\,Tx).$

По неравенству треугольника для $d(x_{n},\,x_{n+p})\leqslant d(x_{n},\,x_{n+1})+d(x_{n+1},\,x_{n+2})+\ldots +d(x_{n+p-1},\,x_{n+p})\leqslant \alpha ^{n}(1+\alpha +\ldots +\alpha ^{p-1})d(x,\,Tx)={\frac {\alpha ^{n}-\alpha ^{n+p}}{1-\alpha }}d(x,\,Tx)$.

Так как по условию $0<\alpha <1$, то $d(x_{n},\,x_{n+p})<{\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x,\,Tx)$. Отсюда следует, что $d(x_{n},\,x_{n+p})\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$ и любом $p>0$.

Значит, последовательность $\{x_{n}\}$ фундаментальна.

В силу полноты пространства $\mathbb {X}$ существует элемент $x_{0}\in \mathbb {X}$, являющийся пределом этой последовательности $x_{0}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$.

Докажем, что $Tx_{0}=x_{0}$.

По неравенству треугольника, $d(x_{0},\,Tx_{0})\leqslant d(x_{0},\,x_{n})+d(x_{n},\,Tx_{0})=d(x_{0},\,x_{n})+d(Tx_{n-1},\,Tx_{0})\leqslant d(x_{0},\,x_{n})+\alpha d(x_{n-1},\,x_{0})$. Так как $x_{0}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$, то для любого $\varepsilon >0$ при достаточно большом $n$ $d(x_{0},\,x_{n})<{\frac {\varepsilon }{2}}$ и $d(x_{0},\,x_{n-1})<{\frac {\varepsilon }{2}}$. Так как $\varepsilon >0$ произвольно, то отсюда следует, что $d(x_{0},\;Tx_{0})=0$, то есть $x_{0}=Tx_{0}$, что и требовалось доказать.

Докажем единственность неподвижной точки у отображения сжатия $T$. Предположим, что существуют два различных элемента $x_{0},\;y_{0}\in \mathbb {X}$, такие, что $Tx_{0}=x_{0},\;Ty_{0}=y_{0}$. Тогда $d(x_{0},\,y_{0})=d(Tx_{0},\,Ty_{0})\leqslant \alpha d(x_{0},\,y_{0})$. Если допустить, что $d(x_{0},\,y_{0})>0$, то из предыдущего следует, что $\alpha \geqslant 1$. Но это противоречит условию $\alpha <1$. Таким образом, наше допущение что $d(x_{0},\,y_{0})>0$ неверно и $x_{0}=y_{0}$.

Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

Литература

• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.