Экспоненциальная точная последовательность

Экспоненциальная точная последовательность — фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в комплексной алгебраической геометрии.

Определение

Пусть $M$ — комплексное многообразие, ${\mathcal {O}}_{M}$ и ${\mathcal {O}}_{M}^{*}$ — пучок голоморфных функций и его под пучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций. Комплексная экспонента задаёт отображение

$\exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},$

которое является гомоморфизмом пучков абелевых групп. Это отображение локально сюръективно и имеет ядро $2\pi \mathbb {Z}$, что даёт экспоненциальную точную последовательность

$0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.$

Свойства

Эта точная последовательность не сюръективна на глобальных сечениях, например, в проколотом диске, зато она продолжается до длинной точной последовательности когомологий пучков, которая начинается как

$0\to H^{0}(\mathbb {Z} )\to H^{0}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{N}^{*})\to H^{1}(\mathbb {Z} )\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*}){\xrightarrow[{}]{c_{1}}}H^{2}(\mathbb {Z} )\to \cdots$

где $H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})$ — группа Пикара, то есть группа классов изоморфизма линейных расслоений, а $c_{1}$ — первый класс Черна.