Электромагнитный потенциал

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего $A_{i}$ или $\varphi _{i}$, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ или $\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$, причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал $(A_{0},\ A_{1},\ A_{2},\ A_{3})$ распадается на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал $\varphi \equiv A_{0}$ и трехмерный векторный потенциал ${\vec {A}}\equiv (A_{x},A_{y},A_{z})\equiv (-A_{1},-A_{2},-A_{3})$; эти потенциалы $\varphi \$ и ${\vec {A}}$ и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через $\varphi$, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция) — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях:

${\vec {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},$

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},$

где ${\vec {E}}$ — напряжённость электрического поля, ${\vec {B}}$ — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), $\nabla$ — оператор набла, причём $\nabla \varphi \equiv \mathrm {grad} \,\varphi$ — градиент скалярного потенциала, а $\nabla \times {\vec {A}}\equiv \mathrm {rot} \,{\vec {A}}$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },$

где $F_{\mu \nu }$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты $E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}$.

Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

С использованием электромагнитного потенциала можно записать добавку $\Delta S$ к действию S для заряженной частицы, вызванную её взаимодействием с электромагнитным полем:

$\Delta S=-\int A_{\mu }j^{\mu }\,dxdydzdt$

или

$\Delta S=-\int qA_{\mu }u^{\mu }\,d\tau =-{\frac {1}{c}}\int qA_{\mu }\,dx^{\mu }=\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt$

(первая форма удобна для вывода уравнений поля (с источниками), а вторая — для вывода уравнения движения заряженной частицы); здесь $q$ — заряд частицы, $u^{i}$ — 4-скорость, $d\tau$ — дифференциал собственного времени (интервала вдоль траектории частицы, деленного на $c$), ${\vec {v}}$ — трёхмерная скорость, $c$ — скорость света, а $dx^{\mu }=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx,\;dy,\;dz)$ — четырёхмерные пространственно-временные координаты частицы.

Физический смысл

Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу $\Phi$ волновой функции частицы:

$\Delta \Phi =-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{\mu }dx^{\mu }=-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{\mu }u^{\mu }d\tau$,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя $1/\hbar$, а в системе единиц, где редуцированная постоянная Планка $\hbar =1,$ обе формулы совпадают). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге интерференционных полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова — Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

См. также

• Электростатический потенциал
• Векторный потенциал