Иерархия алефов: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Общее определение и свойства: орфография |
43K1C7 (обсуждение | вклад) м откат правок 5.139.21.223 (обс.) к версии Arami Mira Метка: откат |
||
(не показано 12 промежуточных версий 9 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Aleph0.svg|справа|мини|200px|Алеф-ноль, наименьшее бесконечное [[кардинальное число]]]] |
[[Файл:Aleph0.svg|справа|мини|200px|Алеф-ноль, наименьшее бесконечное [[кардинальное число]]]] |
||
'''Иера́рхия а́лефов''' в [[Теория множеств|теории множеств]] и в [[Математика|математике]] вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления [[Мощность множества|мощности]] (количества элементов) [[Бесконечное множество|бесконечных]] [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядоченных множеств]]{{sfn |Математическая энциклопедия|1977|name=ME}}. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные [[Натуральное число|натуральные числа]], упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы [[Алеф (буква еврейского алфавита)|алеф]] [[Еврейский алфавит|еврейского алфавита]] с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным [[Порядковое число|порядковым числом]]. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса. |
'''Иера́рхия а́лефов''' в [[Теория множеств|теории множеств]] и в [[Математика|математике]] вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления [[Мощность множества|мощности]] (количества элементов) [[Бесконечное множество|бесконечных]] [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядоченных множеств]]{{sfn |Математическая энциклопедия|1977|name=ME}}. Мощность [[Конечное множество|конечного множества]] есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные [[Натуральное число|натуральные числа]], упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы [[Алеф (буква еврейского алфавита)|алеф]] (ℵ) [[Еврейский алфавит|еврейского алфавита]] с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным [[Порядковое число|порядковым числом]]. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса. |
||
Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («[[счётное множество|счётная]]»), которая обозначается символом <math>\aleph_0</math> (читается: «алеф-ноль»), далее следует <math>\aleph_1</math> (алеф-один) и так далее. |
Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («[[счётное множество|счётная]]»), которая обозначается символом <math>\aleph_0</math> (читается: «алеф-ноль»), далее следует <math>\aleph_1</math> (алеф-один) и так далее. |
||
Иерархия алефов была описана немецким математиком [[Кантор, Георг|Георгом Кантором]] в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)<ref>{{ |
Иерархия алефов была описана немецким математиком [[Кантор, Георг|Георгом Кантором]] в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)<ref>{{книга |заглавие=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite |isbn=9780691024479 |ref=Joseph Warren Dauben |язык=en |автор=Joseph Warren Dauben; Joseph Warren Dauben}}</ref>. |
||
Обозначения алефов не следует путать с [[Символ бесконечности|символом бесконечности]] [[Валлис, Джон|Валлиса]] (<math>\infty</math>), который часто встречается в [[Математический анализ|математическом анализе]] и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание (<math>-\infty</math> означает неограниченное убывание) функции, либо особую («{{d-|[[Бесконечно удалённая точка|бесконечно удалённую]]}}») точку на [[Расширенная числовая прямая|расширенной числовой прямой]] или [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]], в то время как алеф есть мера мощности множеств. |
Обозначения алефов не следует путать с [[Символ бесконечности|символом бесконечности]] [[Валлис, Джон|Валлиса]] (<math>\infty</math>), который часто встречается в [[Математический анализ|математическом анализе]] и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание (<math>-\infty</math> означает неограниченное убывание) функции, либо особую («{{d-|[[Бесконечно удалённая точка|бесконечно удалённую]]}}») точку на [[Расширенная числовая прямая|расширенной числовой прямой]] или [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]], в то время как алеф есть мера мощности множеств. |
||
Строка 46: | Строка 46: | ||
=== Алеф-один === |
=== Алеф-один === |
||
<math>\aleph_1</math> (алеф-один) — это мощность множества всех счётных [[Порядковое число|порядковых чисел]], которое обозначается <math>\omega_1</math> (иногда <math>\Omega_1</math>). Ординал <math>\omega_1</math> больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, <math>\aleph_1</math> не совпадает с <math>\aleph_0</math> и больше его. |
<math>\aleph_1</math> (алеф-один) — это мощность множества всех счётных [[Порядковое число|порядковых чисел]], которое обозначается <math>\omega_1</math> (иногда <math>\Omega_1</math>). Ординал <math>\omega_1</math> больше, чем все счётные ординалы, и соответствует [[Несчётное множество|несчётным]] множествам. Следовательно, <math>\aleph_1</math> не совпадает с <math>\aleph_0</math> и больше его. |
||
Если принята [[Система Цермело — Френкеля|аксиоматика Цермело — Френкеля]] (даже ''без'' [[Аксиома выбора|аксиомы выбора]]), то между <math>\ |
Если принята [[Система Цермело — Френкеля|аксиоматика Цермело — Френкеля]] (даже ''без'' [[Аксиома выбора|аксиомы выбора]]), то между <math>\aleph_0</math> и <math>\aleph_1</math> нет никаких других кардинальных чисел. С помощью [[Аксиома выбора|аксиомы выбора]] мы можем показать одно из самых полезных свойств множества <math>\omega_1\colon</math> любое счётное подмножество <math>\omega_1</math> имеет верхнюю границу в <math>\omega_1</math> (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в <math>\aleph_0</math>: каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и [[Объединение множеств|конечное объединение]] конечных множеств конечно. |
||
Если принять [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезу]], то <math>\aleph_1</math> совпадает с мощностью поля [[Вещественное число|вещественных чисел]] ([[Континуум (теория множеств)|континуум]]). Если же континуум-гипотеза неверна, то континуум соответствует одному из более далёких алефов. |
Если принять [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезу]], то с аксиомой выбора <math>\aleph_1</math> совпадает с мощностью поля [[Вещественное число|вещественных чисел]] ([[Континуум (теория множеств)|континуум]]). Если же континуум-гипотеза неверна, то с аксиомой выбора континуум соответствует одному из более далёких алефов. Без аксиомы выбора континуум может как быть алефом, так и нет. |
||
== Арифметика алефов == |
== Арифметика алефов == |
||
{{main|Мощность множества}} |
{{main|Мощность множества}} |
||
[[Георг Кантор]] определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения [[Аксиома выбора|аксиомы выбора]]. Примеры{{sfn |Куратовский, Мостовский|1970|с=284—286}}: |
[[Георг Кантор]] определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения [[Аксиома выбора|аксиомы выбора]]. Примеры{{sfn |Куратовский, Мостовский|1970|с=284—286}}: |
||
* Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф: <math>\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha |
* Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф: <math>\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha</math>. |
||
* Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф. |
* Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф: <math>(\aleph_\alpha)^n = \aleph_\alpha</math>. |
||
* Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них. |
* Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них: <math>\aleph_\alpha + \aleph_\beta = \aleph_\beta, \quad \aleph_\alpha \cdot \aleph_\beta = \aleph_\beta, \quad \beta > \alpha</math>. |
||
==См. также== |
==См. также== |
Текущая версия от 19:41, 13 августа 2024
Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множеств[1]. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.
Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная»), которая обозначается символом (читается: «алеф-ноль»), далее следует (алеф-один) и так далее.
Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)[2].
Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса (), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание ( означает неограниченное убывание) функции, либо особую («бесконечно удалённую») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.
Общее определение и свойства
[править | править код]Как сказано выше, символ обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал Тогда символ обозначает[1] мощность множества всех порядковых чисел, меньших
- Некоторые свойства[3].
- Все алефы сравнимы между собой, из двух алефов больше тот, у которого больше индекс.
- Каждое кардинальное число совпадает с одним из алефов (для доказательства необходима аксиома выбора).
- Предположение: известно как континуум-гипотеза.
- Множество всех алефов, меньших заданного вполне упорядочено, и его порядковый тип равен
- Кардинальное число непосредственно следует за никаких промежуточных мощностей между ними нет.
- Наибольшего элемента среди алефов нет. Иерархия алефов не образует множества в смысле аксиоматики Цермело-Френкеля.
Примеры
[править | править код]Алеф-ноль
[править | править код](алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой (омега), или оно имеет мощность
Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел . Примеры множеств мощности :
- множество всех квадратных чисел, множество всех кубических чисел;
- множество всех чётных чисел, множество всех нечётных чисел;
- множество всех простых чисел, множество всех составных чисел;
- множество всех целых чисел;
- множество всех рациональных чисел;
- совокупность всех геометрических величин, которые можно построить циркулем и линейкой;
- множество всех алгебраических чисел,
- множество всех вычислимых чисел,
- множество всех определимых чисел[англ.];
- множество всех двоичных строк конечной длины;
- множество всех конечных подмножеств заданного счётного множества.
Бесконечные ординалы:
все относятся к счётным множествам[4]. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:
- {1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}
описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности .
Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.
Алеф-один
[править | править код](алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается (иногда ). Ординал больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, не совпадает с и больше его.
Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между и нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества любое счётное подмножество имеет верхнюю границу в (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.
Если принять континуум-гипотезу, то с аксиомой выбора совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то с аксиомой выбора континуум соответствует одному из более далёких алефов. Без аксиомы выбора континуум может как быть алефом, так и нет.
Арифметика алефов
[править | править код]Георг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. Примеры[5]:
- Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф: .
- Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф: .
- Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них: .
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1977.
- ↑ Joseph Warren Dauben; Joseph Warren Dauben. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (англ.). — ISBN 9780691024479.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 283—284.
- ↑ Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 284—286.
Литература
[править | править код]- Ефимов Б. А. Алефы // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 235.
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.