Электромагнитный потенциал

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырехмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала, электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего $A_{i}$ или $\phi _{i}$, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ или $\phi _{0},\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$, причём индексом 0 как правило обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В этой статье мы будем придерживаться первого обозначения.
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчета электромагнитный потенциал $(A_{0},\ A_{1},\ A_{2},\ A_{3})$ распадается на электрический потенциал $\phi \equiv A_{0}$ и трехмерный векторный потенциал ${\vec {A}}\equiv (A_{x},A_{y},A_{z})\equiv (-A_{1},-A_{2},-A_{3})$. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть, в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряженность электрического поля выражается через электрический потенциал, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряженность магнитного поля (магнитная индукция) — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное — всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трехмерных векторных обозначениях:

${\vec {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},$

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},$

где ${\vec {E}}$ — напряженность электрического поля, ${\vec {B}}$ — магнитная индукция (или — что в случае вакуума в сущности то же самое — напряженность магнитного поля), $\nabla$ — оператор набла, причём $\nabla \phi \equiv \mathrm {grad} \,\phi$ — градиент электрического потенциала, а $\nabla \times {\vec {A}}\equiv \mathrm {rot} \,{\vec {A}}$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырехмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },$

где $F_{ij}$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты $E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}$.

Приведенное выражение является обобщением выражения ротора для случая четырехмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, компоненты $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

Физический смысл

Физический смысл четырехмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что этот потенциал при взаимодействии с заряженной частицей (с электрическим зарядом q) дает добавку в фазу $\varphi$ ее квантовой волны вероятности:

$\Delta \varphi =-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{i}dx^{i}=-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{i}u^{i}d\tau$,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя $1/\hbar$, а в системе единиц, где $\hbar =1$ — просто совпадает с ней).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

См. также

• Электростатический потенциал
• Векторный потенциал