Гипероктаэдр

Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп.

Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.

Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.

Частные случаи

Число измерений n	Название фигуры	Символ Шлефли	Изображение
1	отрезок	{}
2	квадрат	{4}
3	октаэдр	{3;4}
4	шестнадцатиячейник	{3;3;4}
5	5-ортоплекс	{3;3;3;4}

Описание

$n$-мерный гипероктаэдр имеет $2n$ вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при $n>1)$ вершины, симметричной ей относительно центра политопа.

Все его $k$-мерные гиперграни $(k<n)$ — одинаковые правильные симплексы; их число равно $2^{k+1}C_{n}^{k+1}.$

Угол между двумя смежными $(n-1)$-мерными гипергранями (при $n>1)$ равен $\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)$.

$n$-мерный гипероктаэдр $(n>1)$ можно представить как две одинаковых правильных $n$-мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме $(n-1)$-мерного гипероктаэдра.

В координатах

$n$-мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $(\pm 1;0;\ldots ;0),$ $(0;\pm 1;\ldots ;0),\ldots ,$ $(0;0;\ldots ;\pm 1).$ При этом каждая из $2^{n}$ его $(n-1)$-мерных гиперграней будет располагаться в одном из $2^{n}$ ортантов $n$-мерного пространства.

Начало координат $(0;0;...;0)$ будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.

Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек $(x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n}),$ чьи координаты удовлетворяют уравнению

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=1,$

а внутренность — геометрическим место точек, для которых

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|<1.$

Метрические характеристики

Если $n$-мерный гипероктаэдр $(n>1)$ имеет ребро длины $a,$ то его $n$-мерный гиперобъём и $(n-1)$-мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_{n}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}},$

$S_{n-1}={\frac {a^{n-1}{\sqrt {n2^{n+1}}}}{(n-1)!}}.$

Радиус описанной $(n-1)$-мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен

$R=\rho _{0}={\frac {a}{\sqrt {2}}},$

радиус $k$-й полувписанной гиперсферы (касающейся всех $k$-мерных гиперграней в их центрах; $k<n$) —

$\rho _{k}={\frac {a}{\sqrt {2(k+1)}}},$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех $(n-1)$-мерных гиперграней в их центрах) —

$r=\rho _{n-1}={\frac {a}{\sqrt {2n}}}.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гипероктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.