Гомоморфизм

Не следует путать с гомеоморфизмом.

Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем, то есть отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения.

Определение

Отображение $f\colon G_{1}\to G_{2}$ называется гомоморфизмом групп $(G_{1},*)$, $(G_{2},\times )$, если оно одну групповую операцию переводит в другую: $f(a*b)=f(a)\times f(b)$, то есть образ произведения равен произведению образов.

Понятие гомоморфизма как соотношение между парой алгебраических систем начало использоваться в работах немецкого математика Фробениуса, а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм. Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма, предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).

Связанные определения

• Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
• Ядро гомоморфизма
  • для гомоморфизма абелевых групп (в частности, для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
  • для общих групп — прообраз единицы.

Свойства

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

Типы гомоморфизмов

• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
• Биморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
• Изоморфизм — гомоморфизм с наличием обратного гомоморфизма
• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
• Автоморфизм — изоморфизм на само множество

См. также

• Псевдохарактер
• Факторгруппа

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).