Графовая вероятностная модель

Графовая вероятностная модель — это вероятностная модель, в которой в виде графа представлены зависимости между случайными величинами. Вершины графа соответствуют случайным переменным, а рёбра — непосредственным вероятностным взаимосвязям между случайными величинами. Графические модели широко используются в теории вероятностей, статистике (особенно в Байесовской статистике), а также в машинном обучении.

Виды графовых моделей

Байесовская сеть

Основная статья: Байесовская сеть

Байесовская сеть представляет случай графической модели с ориентированным ациклическим графом, при этом ориентированные рёбра кодируют отношения вероятностной зависимости между переменными.

По байесовской сети легко записывается совместное распределение переменных: если события (случайные величины) обозначаются как

$X_{1},\ldots ,X_{n}$

тогда совместное распределение удовлетворяет уравнению

$P[X_{1},\ldots ,X_{n}]=\prod _{i=1}^{n}P[X_{i}|pa_{i}]$

где $pa_{i}$ множество вершин-предков вершины $X_{i}$. Другими словами, совместное распределение представляется в виде произведения условных атомарных распределений, которые обычно известны. Любые две вершины, не соединённые ребром, условно независимы, если известно значение их предков. В общем, любые два набора вершин условно независимы при заданных значениях третьего множества вершин, если в графе выполняется условие d-разделимости. Локальная и глобальная независимость эквивалентны в Байесовской сети

Важный частный случай байесовской сети - скрытая марковская модель

Марковские случайные поля

Основная статья: Марковская сеть

Марковские случайные поля задаются неориентированным графом. В отличие от байесовских сетей, они могут содержать циклы.

С помощью марковских случайных полей, можно удобно представлять изображения, используя сеточную структуру, что позволяет решать, например, задачу фильтрации шума на изображении.

Другие виды графовых моделей

• фактор-граф — неориентированный двудольный граф, в котором рёбрами соединены факторы и случайные переменные. Каждый фактор представляет вероятностное распределения для всех переменных, которые он связывает. Графы переводят в форму фактор-графа, например, для возможности использования алгоритма распространения доверия.
• цепной граф — это граф, который может содержать как направленные, так и ненаправленные рёбра, но без ориентированных циклов (то есть если мы начнём движение в какой-то вершине и будем двигаться по графу только по ориентированным рёбрам, то мы не сможем вернуться в ту вершину, из которой мы начали путь). И ориентированные и неориентированные графы являются частным случаем цепных графов, которые могут служить обобщением байесовских и марковских сетей
• условное случайное поле — дискриминативная модель, заданная на неориентированном графе

Приложения

Графовые модели используются в задачах извлечения информации, распознавания речи, компьютерного зрения, декодирования кодов с малой плотностью проверок на чётность, обнаружения генов и диагностики болезней.

Ссылки

• Jensen, Finn. An introduction to Bayesian networks (неопр.). — Berlin: Springer, 1996. — ISBN 0-387-91502-8.
• Cowell, Robert G.; Dawid, A. Philip; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J.. Probabilistic networks and expert systems (англ.). — Berlin: Springer, 1999. — ISBN 0-387-98767-3. A more advanced and statistically oriented book
• Pearl, Judea. Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems (англ.). — 2nd revised. — San Mateo, CA: Morgan Kaufmann, 1988. — ISBN 1558604790. A computational reasoning approach, where the relationships between graphs and probabilities were formally introduced.
• Bishop, Christopher M.. Chapter 8. Graphical Models // Pattern Recognition and Machine Learning (неопр.). — Springer, 2006. — С. 359—422. — ISBN 0-387-31073-8.
• A Brief Introduction to Graphical Models and Bayesian Networks Архивная копия от 12 ноября 2020 на Wayback Machine
• Heckerman's Bayes Net Learning Tutorial (недоступная ссылка)
• Edoardo M. Airoldi. Getting Started in Probabilistic Graphical Models (англ.) // PLoS Computational Biology : journal. — 2007. — Vol. 3, no. 12. — P. e252. — doi:10.1371/journal.pcbi.0030252.