Качающийся факториал

График функции качающегося факториала на логарифмической шкале

Качающийся факториал (англ. swinging factorial) — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел $\mathbb {Z} ^{+}$. Обозначается $n\wr$, произносится эн качающийся факториа́л.

Качающийся факториал натурального числа $n$ определяется следующей формулой:

$n\wr ={\frac {n!}{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor !^{2}}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}i}{\left\lfloor \prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}i\right\rfloor ^{2}}}$

Данная дробь всегда будет целым числом по простой причине — она кратна биномиальному коэффициенту ${\binom {n}{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}$, который равен в точности ${\frac {n!}{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor !\cdot \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil !}}$.

Из первой формулы можем получить новое определение факториала натурального числа $n$:

$n!=n\wr \lfloor n/2\rfloor !^{2}$

Качающийся факториал назван именно так из-за его графика функции, напоминающий функцию качения.

Разложение на простые множители

Пусть ${\mathcal {P}}_{p}(n\wr )$ — степень простого числа $p$ в примарном разложении качающегося факториала, тогда будет справедлива следующая формула: ${\mathcal {P}}_{p}(n\wr )=\sum _{i\geq 1}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \mod {2}$

Последовательность качающегося факториала в OEIS

Последовательность качающегося факториала в Онлайн-Энциклопедии целочисленных последовательностей указана под кодировкой A056040.

Ниже приведены первые 10 значений функции качающегося факториала:

Значения факториала (OEIS A056040)

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
$n\wr$	1	1	2	6	6	30	20	140	70	630	252	2772	924	12012	3432	51480	12870	218790	48620	923780	124756	3879876	705432	16224936	2704156

См. также

• Факториал
• Комбинаторика
• Логарифм
• Пол и потолок (функции)