Открытое множество

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Евклидово пространство

Пусть $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда $U$ называется открытым, если $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ такое что $V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U$, где $V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\}$ — ε-окрестность точки $x_{0}.$

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал $(a,b)$ как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок $[a,b]$ или полуинтервал $[a,b)$ не являются открытыми, так как точка $a$ принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

Метрическое пространство

Пусть $(X,\rho )$ — некоторое метрическое пространство, и $U\subset X$. Тогда $U$ называется открытым, если $\forall x_{0}\in U\;\exists \varepsilon >0,$ такое что $V_{\varepsilon }(x_{0})\subset U$, где $V_{\varepsilon }(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$ — ε-окрестность точки $x_{0}$ относительно метрики $\rho$. Другими словами, множество $U$ в метрическом пространстве $(X,\rho )$ называется открытым множеством, если каждая точка $x_{0}$ множества $U$ входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке $x_{0}$.

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$ по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств ${\mathcal {T}}$ — «топологию», определённую на $X$. Подмножество $U\subset X$, такое, что оно является элементом топологии (то есть $U\in {\mathcal {T}}$), называется открытым множеством относительно топологии ${\mathcal {T}}$.

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество $G$  содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества $G$ .

История

Открытые множества были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году.

См. также

• Замкнутое множество
• Граница подмножества