Парадокс Скулема

Парадокс Скулема — противоречивое рассуждение, описанное впервые норвежским математиком Туральфом Скулемом, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Скулема для аксиоматической теории множеств.

В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали-Форти, где при помощи логически верных выводов обнаруживается противоречие, «замаскированное» в исходных посылках, «противоречие» парадокса Скулема возникает от ошибки в рассуждениях, и аккуратное рассмотрение вопроса показывает, что это лишь мнимый парадокс. Тем не менее, рассмотрение парадокса Скулема имеет большую дидактическую ценность.

Формулировка

Если система аксиом любой аксиоматической теории множеств непротиворечива, то она, в силу теорем Гёделя и Лёвенгейма — Скулема, имеет модель и, более того, эта модель может быть построена на натуральных числах. То есть, всего лишь счётное множество объектов $M$ (каждый из которых будет соответствовать уникальному множеству) требуется для того, чтобы подобрать значение предиката $x\in y$ для каждой пары объектов, полностью удовлетворяющее аксиомам этой теории (например, $\mathrm {ZF}$ или $\mathrm {ZFC}$ — в предположении их непротиворечивости, см. Аксиоматика теории множеств). В такой ситуации для каждого объекта модели $y$ лишь конечное или счётное количество объектов (больше просто нет в предметной области) могут входить в отношение $\ldots \in y$. Фиксируем такую модель ${\mathfrak {M}}$ со счётным $M$ в качестве предметной области.

В силу теорем $\mathrm {ZF}$, вне зависимости от принятой модели в $\mathrm {ZF}$ выводимо, например, существование терма ${\mathcal {P}}(\omega )$, мощность которого несчётна. Но в счётной модели любое множество вынужденно не более, чем счётно — противоречие?

Разрешение

Проведём рассуждение аккуратно. Факт $\mathrm {ZF} \vdash \exists x(x={\mathcal {P}}(\omega ))$ означает, что существует такой объект $c\in M$, что формула первого порядка, соответствующая выражению $x={\mathcal {P}}(\omega )$, истинна в модели ${\mathfrak {M}}$ на оценке, при которой индивидной переменной $x$ поставлен в соответствие объект $c$. Теорема Кантора утверждает, что $x$ — несчётно, что по определению значит

$\mathrm {ZF} \vdash \neg \exists f(f$ — биекция между ${\mathcal {P}}(\omega )$ и $\omega )\land \exists f(f$ — биекция между $\omega$ и $\omega \cup {\omega }),$

где «$f$ — биекция между $A$ и $B$» означает $\forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B))$, где $\langle x,\;y\rangle$ — любое кодирование упорядоченных пар, например, $\langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\}$.

Но это значит лишь то, что среди элементов $M$ нет такого $f$, что в модели ${\mathfrak {M}}$ оно удовлетворяло бы свойствам биекции между ${\mathcal {P}}(\omega )$ и $\omega$. При этом не важно, что в отношение принадлежности с объектом из $M$, соответствующим терму ${\mathcal {P}}(\omega )$ может входить не более чем счётное число объектов из $M$ — важно то, что среди объектов $M$ не существует $f$, осуществляющего необходимую биекцию.

Рассуждение «если модель счётна, то в отношение $\in$ с любым объектом может входить не более чем счётное число объектов» есть рассуждение внешнее по отношению к изучаемой аксиоматической теории и никакой формуле в этой теории не соответствует. С внешней точки зрения на теорию $\mathrm {ZF}$ «множество всех множеств» (второй раз слово «множество» здесь обозначает лишь некоторый объект предметной области $\mathrm {ZF}$) может существовать и даже быть счётным, что никак не связано (и потому не может противоречить) с выводимыми в $\mathrm {ZF}$ формулами.

Литература

• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
• Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.