Твистор

Твистор — точка в 4-мерном комплексном твисторном векторном пространстве, являющемся нелокальным комплексным твисторным отображением 4-мерного пространства-времени Минковского.

Введение понятия вызвано необходимостью усложнения математической модели для описания квантовомеханических событий в пространстве-времени. Так, для описания поглощения фотона недостаточно указать координаты точки поглощения в четырёхмерном пространстве, необходимо указать также его энергию и поляризацию. Для описания состояния электрона необходимо добавить к его координатам направление спина.

Теория твисторов использует тот факт, что значение поляризации или спина в точке пространства-времени — это луч в двумерном комплексном пространстве, или точка на сфере Римана $CP^{1}$. Эта сфера Римана является математическим образом абсолютного небосвода наблюдателя в специальной теории относительности. Таким образом, основной идеей теории твисторов является объединение математического аппарата специальной теории относительности (4-мерное пространство Минковского) и квантовой механики (комплексные числа).

Проективный твистор

Теория твисторов рассматривает в качестве фундаментальных объектов не точки пространства-времени, а лучи света. Рассмотрим световой луч Z в пространстве-времени Минковского и точку R, через которую он проходит. Световой луч в пространстве-времени Минковского при твисторном отображении отображается в точку Z проективного твисторного пространства PT, а точка R в пространстве-времени Минковского M при твисторном отображении отображается в сферу Римана R в проективном твисторном пространстве PT. Таким образом, точка Z в PT соответствует геометрическому месту Z (световому лучу) в пространстве М, а точка R в М соответствует геометрическому месту R (сфере Римана) в пространстве PT. Точки проективного твисторного пространства PT называются проективными твисторами.

Твисторное отображение

Точки пространства-времени представляются четырьмя вещественными числами, а координаты в проективном твисторном пространстве могут быть представлены отношениями четырёх комплексных чисел. Если световой луч с координатами $(Z_{0},Z_{1},Z_{2},Z_{3})$ в твисторном пространстве проходит через точку (t, x, y, z) в пространстве-времени, то справедливо твисторное отображение

${Z_{0} \choose Z_{1}}={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t+z&x+iy\\x-iy&t-z\end{pmatrix}}{Z_{2} \choose Z_{3}}.$

Классификация твисторов

Твистор Z с координатами $(Z_{0},Z_{1},Z_{2},Z_{3})$ называется положительным (соответственно отрицательным, изотропным), если величина $Z_{0}^{2}+Z_{1}^{2}-Z_{2}^{2}-Z_{3}^{2}$ положительна (соответственно отрицательна, равна нулю). Множества положительных (соответственно отрицательных, изотропных) твисторов обозначаются через Т⁺ (соотв. Т^-, N), а их проективные аналоги — через PТ⁺ (соотв. PТ^-, PN).

Применения теории твисторов

Теория твисторов применяется при решении уравнений Максвелла, Янга — Миллса и Эйнштейна.

См. также

• Специальная теория относительности
• Квантовая механика
• Спинор
• Роджер Пенроуз

Литература

• Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие вселенной: Полный путеводитель / Пер. с англ. А. Р. Логунова, Э. М. Эпштейна. — М., Ижевск, 2007.
• Твисторы и калибровочные поля: Сборник статей / Под ред. В. В. Жаринова. — М.: Мир, 1983.
• Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени / Пер. с англ. — М.: Мир. 1988. — 572 с. — ISBN 5-03-001049-1
• Манин Ю. И. Математика как метафора. — М.: МЦНМО, 2008. — 400 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-287-9
• Геометрические идеи в физике: Сб. статей / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1983. — 240 c.
• Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М.: Наука, 1984. — 336 с.