Уравнения Чаплыгина

Уравнения Чаплыгина — уравнения динамики неголономной системы. Получены С. А. Чаплыгиным в 1895 году. Позволяют упростить уравнения динамики неголономных систем путём исключения из уравнений динамики связей и уменьшения числа интегрируемых уравнений на число связей.

Формулировка

Рассмотрим неголономную систему с $s$ степенями свободы и $d$ неголономными связями. Обозначим кинетическую энергию системы $T$, потенциальную энергию $\Pi$. Обобщённые скорости зависимых координат ${\dot {q}}_{k}=\sum _{m=1}^{s-d}h_{km}{\dot {q}}_{m}+h_{k}$, где $k=s-d+1,...,s$. Обозначим $T^{*}$ кинетическую энергию системы после исключения зависимых скоростей ${\dot {q}}_{s-d+1},{\dot {q}}_{s-d+2},...,{\dot {q}}_{s}$.

Уравнения динамики неголономной системы имеют вид

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T^{*}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T^{*}}{\partial q_{m}}}+\sum _{k=s-d+1}^{s}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\sum _{r=1}^{s-d}\left({\frac {\partial h_{kr}}{\partial q_{m}}}-{\frac {\partial h_{km}}{\partial q_{r}}}\right){\dot {q}}_{r}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}},$

где $m=1,2,...,s-d.$ В этих уравнениях можно исключить скорости зависимых координат ${\dot {q}}_{s-d+1},{\dot {q}}_{s-d+2},...,{\dot {q}}_{s}$ при помощи уравнений ${\dot {q}}_{k}=\sum _{m=1}^{s-d}h_{km}{\dot {q}}_{m}+h_{k}$ и таким образом получить $s-d$ уравнений с $s-d$ неизвестными $q_{1},q_{2},...,q_{s-d}$, которые интегрируются независимо от уравнений неголономных связей.

Литература

• Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.