Формулы Френеля

Падающая, отражённая и преломлённая волны на границе раздела двух сред. Красным цветом показаны направления векторов напряженности электрического поля. Случай p-поляризации

То же самое для s-поляризованного света (векторы напряженности электрического поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка)

Частичное пропускание и отражение амплитуды волны, бегущей в среде от низкого к высокому преломляющему индексу

Фо́рмулы Френе́ля связывают амплитуды преломлённой и отражённой электромагнитных волн с амплитудой волны, падающей на плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления. Названы в честь французского физика Огюста Френеля, получившего эти формулы. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением.

Предварительная информация

При падении на плоскую границу различают две поляризации света:

1) S-поляризация — вектор напряжённости электрического поля электромагнитной волны перпендикулярен плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч);

2) P-поляризация — вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s-поляризации и p-поляризации различаются.

Пусть $E_{i}$, $E_{r}$, $E_{t}$ — комплексные амплитуды падающей, отраженной и преломлённой волн соответственно. Тогда величина $r={\frac {E_{r}}{E_{i}}}$ называется амплитудным коэффициентом отражения, а величина $t={\frac {E_{t}}{E_{i}}}$ — амплитудным коэффициентом пропускания. Буквами $r_{s}$, $r_{p}$, $t_{s}$, $t_{p}$ будем обозначать соответствующие амплитудные коэффициенты для s- и p-поляризованных волн.

Формулы

Общий случай

${\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}$

где

$n_{1}$ — показатель преломления среды, из которой падает волна,

$n_{2}$ — показатель преломления среды, в которую волна проходит,

$\theta _{i}$ — угол падения,

$\theta _{t}$ — угол преломления

Угол падения связан с углом преломления законом Снеллиуса:

$n_{1}\sin \theta _{i}=n_{2}\sin \theta _{t}$

Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. При некотором угле падения, называемым углом Брюстера, отражённый луч оказывается полностью поляризован. Его поляризация оказывается линейной, перпендикулярной к плоскости падения (то есть выполняется условие $r_{p}=0$). Угол Брюстера $\theta _{B}$ зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела и может быть найден по формуле:

$$\operatorname {tg} \theta _{B}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$$

Коэффициенты отражения и преломления по энергии могут быть рассчитаны по формулам:

$R=|r|^{2}$

$T={\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}|t|^{2}$

• Зависимость коэффициентов пропускания и отражения от угла падения света
• 
  из менее оптически плотной среды (воздуха) в более оптически плотную (стекло)
• 
  из более оптически плотной среды (стекло) в менее оптически плотную (воздух)

Нормальное падение

В случае нормального падения света исчезает разница между p- и s-поляризованными волнами. Тогда амплитудные коэффициенты становятся равны:

$r_{s}=-r_{p}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{2}+n_{1}}},$

$t_{s}=t_{p}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}.$

Разница в знаках $r_{s}$ и $r_{p}$ обусловлена выбором направлений векторов напряженности электрического поля: в случае p-поляризации в пределе нормального падения векторы падающей и отражённой волны оказываются направлены в противоположные стороны, а в случае s-поляризации остаются сонаправленными.

Коэффициенты отражения и преломления по энергии:

$R=\left|{\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\right|^{2},$

$T={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{2}+n_{1})^{2}}}.$

Границы применимости

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса. В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны, большое значение имеет диффузное отражение света на поверхности.

В компьютерной графике

Для аппроксимации вклада фактора Френеля в зеркальное отражение используется аппроксимация Шлика.

Литература

• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: «Мир», 1965.

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика.. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1.

• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — 2-е изд.. — М.: «Наука», 1973. — 720 с.

• Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности (рус.) // Успехи физических наук. — Российская академия наук, 1999. — Т. 169. — С. 1025.