Seznam pravilnih politopov

Pregled pravilnih politopov vsebuje pravilne politope v evklidskih, sfernih in hiperboličnih prostorih.

Osnovni pregled pravilnih politopov

V naslednjem pregledu pravilnih politopov je podanih nekaj osnovnih lastnosti pravilnih politopov v odvisnosti od razsežnosti.

razsežnost	konveksni	nekonveksni	konveksne evklidske teselacije	konveksne hiperbolične teselacije	nekonveksne hiperbolične teselacije	abstraktni politopi
1	1 daljica	0	0	0	0	1
2	∞ mnogokotnikov	∞ zvezdni mnogokotniki	1	1	0	∞
3	5 platonskih teles	4 Kepler-Poinsotovi poliedri	3 tlakovanja	∞	∞	∞
4	6 konveksnih polihoronov	10 Schläfli-Hessovih polihoronov	1 satovje	4	0	∞
5	3 konveksni 5-politopi	0 nekonveksnih 5-politopov	3 teselacije	5	4	∞
6+	3	0	1	0	0	∞

Teselacije

Pri konveksnih politopih se lahko obravnava teselacijo in tlakovanje sfernega prostora.

Obravnava se lahko tudi teselacijo evklidskega in hiperboličnega prostora. Paziti je treba na to, da se z n-razsežnimi politopi lahko opravi teselacijo prostora, ki ima razsežnost za ena manjšo. Zgled: trirazsežna platonska telesa omogočajo teselacijo dvorazsežne ploskve na sferi.

Pravilni politopi v eni razsežnosti

V eni razsežnosti je samo en politop, katerega meje sta dva konca daljice. Označuje se ga s praznim Schläflijevim simbolom {}

Pravilni politopi v dveh razsežnostih

Politopi v dveh razsežnostih se imenujejo mnogokotniki. Pravilni mnogokotniki so enakostranični mnogokotniki. P-kotni pravilni mnogokotnik se zapiše s Schläflijevim simbolom v obliki {p}.

Konveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih

Schläflijev simbol v obliki {p} predstavlja pravilni p-kotnik.

ime	enakostranični trikotnik (2-simpleks)	kvadrat (2-ortopleks) (hiperkocka)	petkotnik	šestkotnik	sedemkotnik	osemkotnik
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Coxeter- Dinkin
slika
ime	devetkotnik	desetkotnik	enajstkotnik	dvanajstkotnik	trinajstkotnik	štirinajstkotnik
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Dinkin
slika
ime	petnajstkotnik	šestnajstkotnik	sedemnajstkotnik	osemnajstkotnik	devetnajstkotnik	dvajsetkotnik	...p-kotnik
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{p}
Dinkin
slika

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v dveh razsežnostih

Pravilni enokotnik in dvokotnik se lahko obravnava kot degenerirani poligon.

ime	enokotnik	dvokotnik
Schläflijev simbol	{1}	{2}
Coxeterjev diagram
slika

Nekonveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih

ime	pentagram	heptagram		oktagram	eneagrami		dekagram	...n-grami
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{p/q}
Coxeter
slika

Teselacija

Znana je samo ena teselacija premice. To je dvorazsežni apeirogon, ki ima neskončno veliko oglišč in robov. Njegov Schläflijev simbol je {∞} in Coxeterjev diagram je .

Pravilni politopi v treh razsežnostih

V treh razsežnostih se politopi imenujejo poliedri. Schläflijev simbol ima obliko {p, q}. To pomeni, da ima pravilne stranske ploskve tipa {p} ter pravilno sliko oglišč {q}.

Konveksni pravilni politopi v treh razsežnostih

Konveksni pravilni poliedri se imenujejo tudi platonska telesa.

ime	Schläfli {p,q}	stranske ploskve {p}	robovi	oglišče {q}	simetrijska grupa	dualni politop
tetraeder (3-simpleks) (trikotna piramida)	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	T_d	(sebi)
kocka (3-kocka) (heksaeder)	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	O_h	oktaeder
oktaeder (3-ortopleks)	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	O_h	kocka
dodekaeder	{5,3}	12 {5}	30	20 {3}2	I_h	ikozaoeder
ikozaeder	{3,5}	20 {3}	30	12 {5}	I_h	dodekaeder

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v treh razsežnostih

V sferni geometriji se hozoeder {2, n} in dieder {n, 2} obravnavata kot pravilna mnogokotnika.

ime	Schläfli {p,q}	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča {q}	simetrija	dualni politop
hengonalni dieder	{1,2}	2 {1}	1	1 {2}	C_1v (*22)	hengonalni hozoeder
hengonal hosoheder	{2,1}	1 {2}	1	2 {1}	C_1v (*22)	hengonalni dieder
digonalni diheder Digonalni hosoeder	{2,2}	2 {2}	2	2 {2}	D_2h (*222)	sebi
trigonalni hozoeder	{2,3}	3 {2}	3	2 {3}	D_3h (*322)	trigonalni dieder
trigonalni dieder	{3,2}	2 {3}	3	3 {2}	D_3h (*322)	trigonalni hozoeder
heksagonalni hozoeder	{2,6}	6 {2}	6	2 {6}	D_3h (*622)	heksagonalni dieder

Nekonveksni pravilni politopi v treh razsežnostih

Pravilni zvezdni poliedri se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri. Poznani so samo štirje, ki se jih lahko uredi po ogliščih kot sta dodekaeder {5, 3} in ikozaeder {3, 5}.

ime	Schläfli {p,q} in Coxeter-Dinkin	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča {q} verf.	χ	gostota	simetrija	dualni politop
majhen zvezdasti dodekaeder	{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	I_h	veliki dodekaeder
veliki dodekaeder	{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	I_h	mali zvezdasti dodekaeder
veliki zvezdasti dodekaeder	{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	I_h	veliki ikozaeder
veliki ikozaeder	{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	I_h	veliki zvezdasti dodekaeder

Teselacije

Evklidsko tlakovanje

Znane so tri pravilne teselacije ravnine, ki imajo Eulerjevo karakteristiko z vrednostjo 0.

ime	Schläfli {p,q}	tip stranske ploskve {p}	slika oglišč {q}	simetrija	dualno
kvadratno tlakovanje (kvadril)	{4,4}	{4}	{4}	*442 (p4m)	(sebi)
trikotno tlakovanje (deltil)	{3,6}	{3}	{6}	*632 (p6m)	šestkotno tlakovanje
šestkotno tlakovanje (hekstil)	{6,3}	{6}	{3}	*632 (p6m)	trikotno tlakovanje

Evklidsko zvezdno tlakovanje

Ne obstaja pravilno tlakovanje zvezdnih mnogokotnikov

Hiperbolična tlakovanja

Teselacije hiperboličnega dvorazsežnega prostora se imenujejo hiperbolična tlakovanja. Obstaja neskončno veliko pravilnih tlakovanj v H². Vsak par pozitivnih števil {p, q} ki zadošča pogoju 1/p + 1/q <1/2, da hiperbolično tlakovanje.

Vzorec:

Sferna (platonska)/Evklidska/hiperbolična (Poincaréjev disk) teselacije s Schläflijevimi simboli
p \ q	3	4	5	6	7	8	9
3	(tetraeder) {3,3}	(oktaeder) {3,4}	(ikozaeder) {3,5}	(trikotno tlakovanje) {3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}
4	(kocka) {4,3}	(kvadratno tlakovanje) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	{4,9}
5	(dodekaeder) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,9}
6	(šestkotno tlakovanje) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	{6,9}
7	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}	{7,9}
8	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}	{8,9}
9	{9,3}	{9,4}	{9,5}	{9,6}	{9,7}	{9,8}	{9,9}

Štirirazsežni pravilni politopi

Pravilni 4-politopi s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r} imajo celice tipa {p, q}, stranske ploskve tipa {p}, slike robov {r} in slike oglišč {q, r}.

slika oglišč štirirazsežnega politopa je polieder. Za pravilne štirirazsežne politope je to pravilni polieder.
slika robov je mnogokotnik v katerem se vidi razporeditev stranskih ploskev okrog roba. Politopi v štirih razsežnostih je slika robov vedno pravilni mnogokotnik.

Eulerjeva karakteristika štirirazsežnih politopov je $\chi =V+F-E-C\,$ , ki pa je enaka 0 za vse oblike.

Konveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih

V naslednji tabeli je prikazanih 6 konveksnih poliedrov. Vsi imajo Eulerjevo karakteristiko enako 0.

ime	Schläfli {p,q,r}	celice {p,q}	stranske ploskve {p}	robovi {r}	oglišča {q,r}	dualni politop {r,q,p}
5-celica (4-simpleks) (pentahoron)	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(sebi)
8-celica (4-kocka) (teserakt)	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16-celica
16-celica (4-ortopleks)	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	teserakt
24-celica	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(sebi)
120-celica	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600-celica
600-celica	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120-celica

5-celica	8-celica	16-celica	24-celica	120-celica	600-celica
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
modeli za (Petrijev mnogokotnik) v poševni ortografski projekciji

ortografske projekcije teles
tetraederska ovojnica	kockina ovojnica	kockina ovojnica	kubooktaederska ovojnica	ovojnica prisekanega rombskega triakontaedra	heksakisov popravljeni prirezani oktaeder
modeli prikazani v Schleglovih diagramih (projekcija v perspektivi)
(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)	(središče celice)
modeli prikazani v stereogafskih projekcijah (3-sfera\|hipersferna)

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v štirih razsežnostih

Ditopi in hozotopi obstajajo kot pravilna teselacija 3 sfere.

Pravilni ditopi (imajo po dve faceti) so {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}.

Nekoveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih

Obstaja deset pravilnih štirirazsežnih zvezdnih politopov, ki se jih lahko imenuje Schläfli-Hessovi politopi. Njihova oglišča so osnovana na konveksnih 120-celicah ({5, 3, 3}) in 600-celicah ({3, 3, 5})

ime	Schläflijev simbol {p, q,r} Coxeter-Dinkinov diagram	celice {p, q}	stranske ploskve {p}	robovi {r}	oglišča {q, r}	gostota	χ	simetrijska grupa	dualni {r, q,p}
ikozaederska 120-celica	{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480	H₄	mala zvezdna 120-celica
mala zvezdna 120-celica	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H₄	ikozaederska 120-celica
velika 120-celica	{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H₄	sebi dualni
imenitna 120-celica	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0	H₄	velika zvezdna 120-celica
velika zvezdna 120-celica	{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H₄	imenitna 120-celica
imenitna zvezdna 120-celica	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H₄	sebi dualni
velika imenitna 120-celica	{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480	H₄	velika ikozaederska 120-celica
velika ikozaederska 120-celica	{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H₄	velika imenitna 120-celica
imenitna 600-celica	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H₄	velika imenitna zvezdna 120-celica
velika imenitna zvezdna 120-celica	{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H₄	imenitna 600-celica

Teselacija evklidskega trirazsežnega prostora

Obstaja samo ena pravilna teselacija v trirazsežnem prostoru.

Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora

Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora se imenuje hiperbolično satovje. Znana so štiri pravilna satovje v H³.

ime	Schläfli simbol {p,q,r}	celica type {p,q}	stranska ploskev type {p}	slika robov {r}	slika oglišč {q,r}	dualni
ikozaedrsko satovje	{3,5,3}	{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	sebi dualen
red-5 kockino satovje	{4,3,5}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{5,3,4}
red-4 dodekaedersko satovje	{5,3,4}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{4,3,5}
red-5 dodekaedersko satovje	{5,3,5}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	sebi dualno

Prikazanih je nekaj projekcij: Prva prikazuje pogled iz središča v Beltrami-Kleinovem modelu. Druga in tretja slika kažejo pogled od zunaj z uporabo Poincarèjevega modela žoge.

{5,3,4} (8 dodekaedrov pri oglišču)	{4,3,5} (20 kock pri oglišču)	{3,5,3} (12 ikozaedrov a oglišču)

Pravilni politopi v petih in višjih razsežnostih

V nadaljevanju so opisani pet in višjerazsežni politopi. V petih razsežnostih se lahko pravilni politop prikaže s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r, s}, kjer so {p, q, r,} hipercelice (teroni), stranske ploskve imajo tip {p}, slika stranskih ploskev je {s}, slika robov je {r, s}, slika oglišč pa je {q, r, s}.

5-politop se imenuje tudi politeron, če pa je neskončen, se imenuje satovje.

slika oglišč 5-politopa je polihoron, ki ga vidimo kot razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča posebej.

slika robov 5-politopa je polieder kot se vidi razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča

slika stranskih ploskev 5-politopa je mnogokotnik kot se vidi razporeditev celic okoli vsake stranske ploskve.

Konveksni pravilni politopi v petih razsežnostih

V petih in višjih razsežnostih so samo tri vrste konveksnih pravilnih politopov. poskus

ime	Schläfli {p₁,...,p_n−1}	Coxeter	`k`-stranske ploskve	tip facete	slika oglišč	dualni politop
n-simpleks	{3ⁿ⁻¹}	...	${{n+1} \choose {k+1}}$	{3ⁿ⁻²}	{3ⁿ⁻²}	sebi dualni
`n`-kocka	{4,3ⁿ⁻²}	...	$2^{n-k}{n \choose k}$	{4,3ⁿ⁻³}	{3ⁿ⁻²}	`n`-ortopleks
`n`-ortopleks	{3ⁿ⁻²,4}	...	$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$	{3ⁿ⁻²}	{3ⁿ⁻³,4}	`n`-kocka

pravilni politopi v 5 razsežnostih

ime	Schläfli Symbol {p,q,r,s} Coxeter	facete {p,q,r}	celice {p,q}	stranske ploskve {p}	robovi	oglišča	slika stranskih ploskev {s}	slika robov {r,s}	slika oglišč {q,r,s}
5-simpleks	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-kocka	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ortopleks	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5-simpleks	5-kocka	5-ortopleks

pravilni politopi v 6 razsežnostih

ime	Schläflijev simbol	oglišča	robovi	stranske ploskve	celice	4-stranske ploskve	5-stranskih ploskev
6-simpleks	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7
6-kocka	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12
6-ortopleks	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64

6-simpleks	6-kocka	6-ortopleks

pravilni politopi v 7 razsežnostih

ime	Schläflijev simbol	oglišča	robovi	stranske ploskve	celice	4-stranske ploskve	5-stranskih ploskev	6-stranskih ploskev	χ
7-simpleks	{3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
7-kocka	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
7-ortopleks	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

7-simpleks	7-kocka	7-ortopleks

pravilni politopi v 8 razsežnostih

ime	Schläflijev simbol	oglišča	robovi	stranske ploskve	celice	4-stranske ploskve	5-stranskih ploskev	6-stranskih ploskev	7-stranskih ploskev
8-simpleks	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9
8-kocka	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16
8-orthopleks	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256

8-simpleks	8-kocka	8-ortopleks

pravilni politopi v 9 razsežnostih

ime	Schläflijev simbol	oglišča	robovi	stranske ploskve	celice	4-stranske ploskve	5-stranskih ploskev	6-stranskih ploskev	7-stranskih ploskev	8-stranskih ploskev	χ
9-simpleks	{3⁸}	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
9-kocka	{4,3⁷}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
9-ortopleks	{3⁷,4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-simpleks	9-kocka	9-ortopleks

pravilni politopi v 10 razsežnostih

ime	Schläflijev simbol	oglišča	robovi	stranske ploskve	celice	4-stranske ploskve	5-stranskih ploskev	6-stranskih ploskev	7-faces	8-stranskih ploskev	9-stranskih ploskev
10-simpleks	{3⁹}	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
10-kocka	{4,3⁸}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20
10-ortopleks	{3⁸,4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024

10-simpleks	10-kocka	10-ortopleks

Nekonveksni pravilni politopi

V petih ali višjih razsežnostih ne obstajajo nekonveksni pravilni politopi.

Teselacija evklidskega štirirazsežnega prostora

Znane so tri neskončne pravilne teselacije (satovje), ki zapolnijo štirirazsežni prostor

ime	Schläfli simbol {p,q,r,s}	tip facete {p,q,r}	tip celice {p,q}	tip stranske ploskve {p}	slika stranske ploskve {s}	slika robov {r,s}	slika oglišč {q,r,s}	dualna oblika
tesekratno satovje	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	sebi dualni
heksadekahorno satovje	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
ikozitetrahorno satovje	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

projicirani del{4,3,3,4} (teseraktno satovje)	projicirani del {3,3,4,3} (heksadekahorno satovje)	projicirani del{3,4,3,3} (ikozite trahorno satovje)

Hiperkockino satovje je ena izmed oblik pravilnega satovja, ki lahko zapolni vsako razsežnost (peto ali višjo) z obliko hiperkockinih facet, ki so štiri okrog vsakega grebena.

ime	Schläfli {p₁, p₂, ..., p_n−1}	tip facete	slika oglišč	dualna oblika
kvadratno tlakovanje	{4,4}	{4}	{4}	sebi dualni
kockino satovje	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	sebi dualni
teseraktno satovje	{4,3²,4}	{4,3²}	{3²,4}	sebi dualni
penteraktično satovje	{4,3³,4}	{4,3³}	{3³,4}	sebi dualni
hekseraktično satovje	{4,3⁴,4}	{4,3⁴}	{3⁴,4}	sebi dualni
hepteraktično satovje	{4,3⁵,4}	{4,3⁵}	{3⁵,4}	sebi dualni
okteraktično satovje	{4,3⁶,4}	{4,3⁶}	{3⁶,4}	sebi dualni
n-hiperkockino satovje	{4,3ⁿ⁻²,4}	{4,3ⁿ⁻²}	{3ⁿ⁻²,4}	sebi dualni

Teselacija hiperboličnega štirirazsežnega prostora

Znanih je pet vrst konveksnih pravilnih satovij in štiri vrste zvezdastih satovij v prostoru H⁴

Pet konveksnih pravilnih satovij v H⁴ je:

ime	Schläflijev simbol {p,q,r,s}	tip facete {p,q,r}	tip celice {p,q}	tip stranske ploskve{p}	slika stranskih ploskev{s}	slika robov {r,s}	slika oglišč {q,r,s}	dualna oblika
red-5 5-celično satovje	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
red-3 120-celično satovje	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
red-5 teseraktično satovje	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
red-4 120-celično satovje	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
red-5 600-celično satovje	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	sebi dualni

Znana so štiri pravilna zvezdasta satovja v prostoru H⁴:

ime	Schläflijev simbol {p,q,r,s}	tip facete {p,q,r}	tip celice {p,q}	tip stranske ploskve {p}	slika stranske ploskve {s}	slika robov {r,s}	slika oglišč {q,r,s}	dualna oblika
red-3 malo zvezdasto 120-celično satovje	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}
pentagramski red 600-celično satovje	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}
red-5 ikozaedersko 120-celično satovje	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5,5/2,5}	{5,5/2,5,3}
red-3 veliko 120-celično satovje	{5,5/2,5,3}	{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}

V H⁴ sta znani tudi 2 vrsti satovja z neskončnima facetama ali sliko oglišč {3, 4, 3, 4} in {4, 3, 4, 3}.

Apeirotopi

Apeirotopi so podobno kot ostali politopi nepovezane hiperploskve. Razlika je samo v tem, da se hiperploskve obrnejo nazaj in se zaprejo okoli končne prostornine hiperprostora. Apeirotopi se ne zasučejo nazaj v samega sebe.

Dve razsežnosti

Apeirogon je pravilna neskončno dolga premica, razdeljena na enake dele, ki jih povezujejo vozlišča.

Tri razsežnosti

Apeiroeder je neskončna poliederska ploskev. Podobno kot apeirogon je lahko ploščat ali nagnjen. Ploščati apeiroeder samo tlakuje (pokrije) ravnino. Nagnjeni polieder je satovju podobna struktura, ki deli prostor na dve področji.

Znanih je 30 pravilnih apeiroedrov v evklidskem prostoru.^[1]^:§/E Vključujejo teselacije tipa $\{4,4\},\{6,3\}$ in $\{3,6\}$ in navzgor ter v ravnini tudi politope tipa $\{\infty ,3\}$ , $\{\infty ,4\}$ in $\{\infty ,6\}$ . V trirazsežnem prostoru pa njihovo mešanico.