Mnogokotnik

Mnogokótnik (tudi vèčkótnik in s tujko poligón) je ravninski geometrijski lik, ki ga oklepa enostavna sklenjena lomljenka. Daljice, ki sestavljajo mnogokotnik, imenujemo stranice mnogokotnika, točke, v katerih se stranici stikata, pa oglišča. Daljice, ki vežejo nesosednja oglišča, so diagonale. V preprostih mnogokotnikih se stranice ne sekajo, stranice pa omejujejo območje z določeno ploščino.

Imena in vrste mnogokotnikov

Mnogokotnike imenujemo po številu njihovih stranic. Na primer: štirikotnik (tetragon), petkotnik (pentagon), šestkotnik (heksagon). Za večje število stranic se uporablja oblika n-kotnik, na primer 17-kotnik ali tudi sedemnajstkotnik.

V nadaljevanju je opisano imenovanje mnogokotnikov in izdelava imen mnogokotnikov, ki jih ni v preglednici:

Imena mnogokotnikov

ime	robovi	opombe
enokotnik (ali monogon)	1	V evklidski ravnini degenerira v zaprto krivuljo, ki ima samo eno oglišče.
dvokotnik (ali digon)	2	V evklidski ravnini degenerira v zaprto krivuljo z dvema ogliščema.
trikotnik (ali trigon)	3	Najenostavnejši mnogokotnik, ki lahko obstaja v evklidski ravnini.
štirikotnik (ali tetragon)	4	Najenostavnejši mnogokotnik, ki se lahko seka.
petkotnik (ali pentagon)	5	Najenostavnejši mnogokotnik, ki lahkoobstija kot pravilna zvezda. Zvezdasti petkotnik je znan kot pentagram.
šestkotnik (ali heksagon)	6	Izogibajmo se izraza »seksagon« - latinsko [sex-] + grško
sedemkotnik (ali heptagon)	7	Izogibajmo se izraza »septagon« - latinsko [sept-] + grško
osemkotnik (ali oktagon)	8
devetkotnik (ali nonagon)	9	»nonagon« se uporablja kot mešanica latinščine [novem - 9] in grščine. Sodobni avtorji raje uporabljajo »eneagon«.
desetkotnik (ali dekagon)	10
enajstkotnik (ali hendekagon)	11	Izogibajmo se izraza »undekagon« - latinščina [un-] + grščina
dvanajstkotnik (ali dodekagon)	12	Izogibajmo se izraza »duodekagon« - latinščina [duo-] + grščina
trinajstkotnik (ali triskaidekagon)	13
štirinajstkotnik (ali tetrakaidekagon)	14
petnajstkotnik (ali quindekagon ali pentakaidekagon)	15
šestnajstkotnik (ali heksakaidekagon)	16
sedemnajstkotnik (ali heptakaidekagon)	17
osemnajstkotnik (ali oktakaidekagon)	18
devetnajstkotnik (ali enneakaidekagon ali nonadekagon)	19
dvajsetkotnik	20
tridesetkotnik	30
hektogon	100	»hektogon« je grško ime (glej hektometer), »centagon« je latinsko-grški križanec, ki se ne rabi pogosto.
tisočkotnik	1.000	Velikost kota v pravilnem tisočkotniku je 179,64°.
desettisočkotnik	10.000	Notranji kot pravilnega desettisočkotnika je 179,964°.
milijonkotnik	1.000.000	Notranji kot pravilnega milijonkotnika je 179,99964°.
apeirogon	$\infty$	Degenerirani mnogokotnik z neskončno velikim številom stranic.

Sestavljanje ostalih imen

Za sestavljanje imen mnogokotnikov, ki imajo več kot 20 in manj kot 100 robov, kombiniramo predpone na naslednji način:

desetice		in	enice		končna predpona
		-kai-	1	-hena-	-kotnik
20	ikozi-		2	-di-
30	triakonta-		3	-tri-
40	tetrakonta-		4	-tetra-
50	pentakonta-		5	-penta-
60	heksakonta-		6	-heksa-
70	heptakonta-		7	-hepta-
80	oktakonta-		8	-octa-
90	eneakonta-		9	-enea-

Predpona »kai« se ne uporablja vedno. Mnenja so različna o tem, kdaj jo lahko uporabljamo, in kdaj ne (glej primere zgoraj).

Drugi sistem se uporablja pri imenovanju višjih alkenov (to so polno nasičeni ogljikovodiki), kjer uporabljamo:

enice		desetice		final suffix
1	hen-	10	deka-	-gon
2	do-	20	-koza-
3	tri-	30	triakonta-
4	tetra-	40	tetrakonta-
5	penta-	50	pentaconta-
6	heksa-	60	heksakonta-
7	hepta-	70	heptakonta-
8	okta-	80	oktakonta-
9	ennea- (ali nona-)	90	eneakonta- (ali nonakonta-)

Taksonomska razvrstitev

Taksonomska razdelitev mnogokotnikov je podana z naslednjim drevesom:

• Mnogokotnik je preprost, če ga omejujejo stranice, ki se ne sekajo med seboj, drugače je kompleksen.
• Preprosti mnogokotnik je konveksen, če njegovi notranji koti niso večji od 180°; drugače je konkaven.
• Konveksni mnogokotnik je cikličen, če vsa njegova oglišča ležijo na eni krožnici. V tem primeru so stranice tetive krožnice, zato tak mnogogokotnik imenujemo tudi tetivni mnogokotnik.
• Tetivni mnogokotnik je pravilen, če so vse njegove stranice enakih dolžin. Vsi pravilni mnogokotniki z istim številom stranic so podobni.

Pravilni mnogokotniki

• enakostranični trikotnik,
• kvadrat,
• pravilni petkotnik,
• pravilni šestkotnik.

Diagonale

Za računanje števila diagonal se uporablja preprosta enačba:

$d_{n}={\frac {n(n-3)}{2}}\!\,.$

Zgleda:

$d_{9}={\frac {9(9-3)}{2}}=d_{9}=27$

$d_{10}={\frac {10(10-3)}{2}}=d_{10}=35$

Koti

Vsota notranjih kotov izbočenega (konveksnega) n-kotnika se lahko izračuna po formuli:

$S_{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }$.

Zgled: Vsota notranjih kotov konveksnega šestkotnika je 720˚:

$S_{6}=(6-2)\cdot 180^{\circ }=4\cdot 180^{\circ }=720^{\circ }\!\,.$

Formula za vsoto notranjih kotov velja tudi za nekatere konkavne mnogokotnike - če je le rob takega mnogokotnika ena sama enostavno sklenjena krivulja.

Vsota zunanjih kotov izbočenega (konveksnega) mnogokotnika je vedno enaka 360˚:

$S'_{n}=360^{\circ }\!\,.$

Galerija

• 
  Preprosti konkavni šestkotnik.
• 
  Preprosti konkavni šestkotnik.
• 
  Pravilni šestkotnik.
• 
  Preprosti konkavni šestkotnik.
• 
  Preprosti konkavni šestkotnik.
• 
  Konveksni šestkotnik.
• 
  Preprosti konkavni šestkotnik.

Glej tudi

• pravilni mnogokotnik
• trikotnik
• pravokotnik

Viri

• Darling, David J. (2004). The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-27047-4. Pridobljeno 12. februarja 2013.
• Gibilisco, Stan (2003). Geometry demystified (spletna izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 9780071416504.