Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Legendrova funkcija hi (običajna označba ) je v matematiki specialna funkcija katere Taylorjeva vrsta je tudi Dirichletova vrsta. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru. Definirana je kot neskončna vrsta:
Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo polilogaritma in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:
Legendrova funkcija se pojavlja v diskretni Fourierjevi transformaciji glede na red ν Hurwitzeve funkcije ζ(s, q)[1] in tudi kot Eulerjevi polinomi z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.
Legendrova funkcija je posebni primer Lerchevega transcendenta in je na ta način podana kot:
- kjer je Dirichletova funkcija λ.
- kjer je imaginarna enota, Dirichletova funkcija β, pa Catalanova konstanta.
- kjer je število zlatega reza.
- (OEIS A111003).
- kjer je Riemannova funkcija ζ, (OEIS A233091).
In v splošnem:
- kjer je Dirichletova funkcija η.
Za liha pozitivna cela števila velja zveza :