The printable version is no longer supported and may have rendering errors. Please update your browser bookmarks and please use the default browser print function instead.
e pozitës së një pike çfarëdo (korente)
M
{\displaystyle M}
të planit
α
{\displaystyle \alpha }
(fig. 6.8.). Meqenëse implikacioni
Fig. 6.8.
a
→
⊥
α
⇒
a
→
⊥
(
r
→
−
r
→
1
)
{\displaystyle {\vec {a}}\perp \alpha \Rightarrow {\vec {a}}\perp ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})}
është i saktë, shkruajmë:
(
r
→
−
r
→
1
)
⋅
a
→
=
0
{\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})\cdot {\vec {a}}=0}
,
ose shkurt
r
→
⋅
a
→
=
b
{\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {a}}=b}
, (...12)
ku
b
=
r
→
1
⋅
a
→
{\displaystyle b={\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {a}}}
. Formulën (12) e quajmë forma e përgjithshme e ekuacionit të planit në trajtën vektoriale.
Kur në këtë ekuacion vektorët
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
dhe
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
i shprehim me koordinata
r
→
(
x
,
y
,
z
)
a
→
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle {\vec {r}}(x,y,z)\ {\vec {a}}(A,B,C)}
dhe njëherësh e zëvendësojmë
b
=
−
D
{\displaystyle b=-D}
, e marrim këtë formulë
(
x
i
→
+
y
j
→
+
z
k
→
)
⋅
(
A
i
→
+
B
j
→
+
C
k
→
)
=
−
D
{\displaystyle (x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}})\cdot (A{\vec {i}}+B{\vec {j}}+C{\vec {k}})=-D}
ose
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}
(...12a)
që e quajmë forma e përgjithshme e ekuacionit të planit të shprehur me koordinata.
2.2. FORMA NORMALE E EKUACIONIT TË PLANIT
Marrim planin
α
{\displaystyle \alpha }
dhe supozojmë se ky plan nuk kalon nëpër origjinën e sistemit koordinativ
0
x
y
z
(
0
∉
α
)
{\displaystyle 0xyz(0\notin \alpha )}
. Le të jetë
p
(
=
0
P
)
{\displaystyle p(=0P)}
distanca e origjinës së sistemit koordinativ
0
x
y
z
{\displaystyle 0xyz}
prej planit
α
{\displaystyle \alpha }
, kurse
a
→
0
{\displaystyle {\vec {a}}_{0}}
ort i vektorit
0
P
→
(
a
→
0
⊥
α
)
{\displaystyle {\overrightarrow {0P}}({\vec {a}}_{0}\perp \alpha )}
(fig. 6.8.). Shënojmë me
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
vektorin e pozitës së pikës korente
M
{\displaystyle M}
të planit
α
{\displaystyle \alpha }
. Nga
△
0
P
M
{\displaystyle \vartriangle 0PM}
konstatojmë këtë relacion
p
r
.
a
→
0
r
→
=
0
P
{\displaystyle pr._{{\vec {a}}_{0}}\ {\vec {r}}=0P}
ose
p
r
.
a
→
0
r
→
=
p
{\displaystyle pr._{{\vec {a}}_{0}}\ {\vec {r}}=p}
.
Meqe
p
r
.
a
→
0
r
→
=
r
→
⋅
a
→
0
{\displaystyle pr._{{\vec {a}}_{0}}{\vec {r}}={\vec {r}}\cdot {\vec {a}}_{0}}
, kemi
r
→
⋅
a
→
0
=
p
,
ku
p
>
0
{\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {a}}_{0}=p,\ {\text{ku}}\ p>0}
. (...13)
Formula (13) quhet forma normale e ekuacionit të planit në trajtën vektoriale.
Kur në këtë ekuacion vektori
r
→
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {r}}(x,y,z)}
dhe orti
a
→
0
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
{\displaystyle {\vec {a}}_{0}(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )}
shprehen me koordinata, përftohet
(
x
i
→
+
y
j
→
+
z
k
→
)
⋅
(
i
→
cos
α
+
j
→
cos
β
+
k
→
cos
γ
)
=
p
{\displaystyle (x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}})\cdot ({\vec {i}}\cos \alpha +{\vec {j}}\cos \beta +{\vec {k}}\cos \gamma )=p}
ose
x
cos
α
+
y
cos
β
+
z
cos
γ
−
p
=
0
{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0}
. (...13a)
Formula (13a) quhet forma normale e ekuacionit të planit të shprehur me koordinata, ku
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1}
,
meqë
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
{\displaystyle \cos \alpha ,\ \cos \beta ,\ \cos \gamma }
janë koordinatat e ortit.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40