Hipi Zhdripi i Matematikës/1258

S h e m b u l l i 28. - Të njehsohet $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ . Z g j i d h j e : Në p. 1.4. kemi pare se limiti i kësaj shprehjeje është i barabartë me numrin iracional $e\!$ , kur numri $x$ tenton në infinit nëpër vargun e numrave natyralë. Tani do të tregojmë se vlera e limitit nuk ndryshohet, kur $x$ tenton në infinit nëpër bashkësinë e numrave realë. Vërtet, meqenëse çdo numër real $x(>1)$ ndodhet ndërmjet dy numrave të njëpasnjëshëm natyrale $n$ , $n+1$ , del: $\scriptstyle {{\frac {1}{n+1}}\leqslant {\frac {1}{x}}<{\frac {1}{n}}\Rightarrow 1+{\frac {1}{n+1}}\leqslant 1+{\frac {1}{n}}<1+{\frac {1}{n}}\Rightarrow \left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{x}\leqslant \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{x}}$ prej nga del: $\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$ ose $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}<\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$ Ngase $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n+1}\cdot {\frac {1}{{\underset {n\to \infty }{\lim }}\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)}}=e$ ; dhe $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right){n+1}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)=e$ , konkludojmë se $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ . S h e n i m: 1° $\lim _{x\to -\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ ; 2° $\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$ Formula e parë vërtetohet duke shfrytëzuar zëvendësimin $x=-(t+1)$ , kurse e dyte zëvendësimin $x={\frac {1}{t}}$ . Provoni këto pohime! S h e m b u l l i 29. - Të njehsohet $\lim _{x\to \infty }\left({\frac {2x+3}{2x+1}}\right)^{x+1}$ Z g j i d h j e : Meqenëse $\left({\frac {2x+3}{2x+1}}\right)^{x+1}=\left(1+{\frac {2}{2x+1}}\right)^{x+1}=\left[\left(1+{\frac {2}{2x+1}}\right)^{\frac {2x+1}{2}}\right]^{\frac {2(x+1)}{2x+1}}$ , $\lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {2x\!+\!3}{2x\!+\!1}}\!\right)^{x+1}\!=\!\lim _{x\to \infty }\!\left[\!\left(\!1\!+\!{\frac {2}{2x\!+\!1}}\!\right)^{\frac {2x+1}{2}}\right]^{\frac {2(x+1)}{2x+1}}\!=\!e^{{\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {2(x+1)}{2x+1}}}\!=\!e$ . S h e m b u l l i 30. - Të paraqitet grafiku i funksionit $y=\lim _{n\to \infty }{\frac {2x+1}{x^{2n}-1}}$ - dhe të njehsohet limiti i majtë dhe i djathtë në pikat $x=1$ dhe $x=-1$ .