Integritetsområde

Ett integritetsområde är inom ringteorin en kommutativ ring, som saknar nolldelare.^[1]^[2] Enligt vissa författare fordras dessutom att ringen har en enhet för att få benämnas integritetsområde. En ring, som uppfyller det senare villkoret, kallas även för en heltalsring.^[3]^[4] Ett ändligt integritetsområde är en kropp.

Definitioner

Om (R,·,+) är en kommutativ ring med enhet är den ett integritetsområde om något av följande ekvivalenta villkor är uppfyll:

R saknar nolldelare.
De multiplikativa annulleringslagarna gäller: Om a ≠ 0 följer av ab=ac, att b=c.
Nollidealet {0} är ett primideal.

Exempel

De jämna heltalen 2Z = {...-2, 0, 2, 4,...} är, enligt den svagare definitionen ovan, ett integritetsområde.
Heltalen Z är, även enligt den starkare definitionen ovan, ett integritetsområde.
En kropp är ett integritetsområde.
En polynomring är ett integritetsområde om den är definierad över ett integritetsområde. Exempelvis är $\mathbb {Z} [x]$ , ringen av alla polynom i en variabel med heltalskoefficienter ett integritetsområde.
Om U är en sammanhängande öppen mängd i det komplexa talplanet så är ringen av alla analytiska funktioner $f:U\to \mathbb {C}$ ett integritetsområde.

Motexempel

För $n\geq 2$ är ringen av alla n×n-matriser inte något integritetsområde.

Egenskaper

Om R är ett integritetsområde, så finns (upp till isomorfi) en minsta kropp S som innehåller R som delring. Kroppen S kallas R:s fraktionskropp och består av element $ab^{-1}$ där $a,b\in R$ och $b\neq 0$ . Exempelvis är fraktionskroppen till heltalen $\mathbb {Z}$ de rationella talen $\mathbb {Q}$ .
Ett integritetsområdes karakteristik kan endast vara 0 eller ett primtal.
Om R är en kommutativ ring med ett ideal P så är kvotringen R/P ett integritetsområde om och endast om P är ett primideal.

Se även

Referenser

Noter

^ I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York 1964.
^ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag Berlin 1950.
^ Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
^ J.B. Fraleigh, A First Course in abstract Algebra, Addison-Wesley New York 1976.

Källor

Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1. D. van Nostrand, Princeton 1958.
N. Bourbaki, Élément de Mathématique, Algèbre, Masson Paris 1963.
Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4

[1] I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York 1964.

[2] B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag Berlin 1950.

[3] Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.

[4] J.B. Fraleigh, A First Course in abstract Algebra, Addison-Wesley New York 1976.

[1]

[2]

[3]

[4]