Milnors K-teori

Inom matematiken är Milnors K-teori ett tidigt försök att definiera högre algebraisk K-teori, introducerat av Milnor (1970).

Definition

Beräkningen av K₂ av en kropp F ledde Milnor till följande ad hoc-definition av högre K-grupper:

$K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a)),\,$

som graderade delar av ett kvot av tensoralgebran av multiplikativa gruppen F^× av tvåsidiga idealet genererat av elementen

$a\otimes (1-a)\,$

för a ≠ 0, 1. För n = 0,1,2 är dessa identiska med Quillens K-grupper för en kropp, men för n ≧ 3 är de i allmänhet olika. Vi definierar symbolen $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ som bilden av $a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}$: fallet n=2 är en Steinbergsymbol.

Tensorprodukten på tensoralgebran inducerar en produkt $K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}$ som gör $K_{*}^{M}(F)$ till en graderad ring som är superkommutativ.

Exempel

• $K_{n}^{M}(\mathbb {F} _{q})=0$ för n ≧ 2.
• $K_{2}^{M}(\mathbb {C} )$ är en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• $K_{2}^{M}(\mathbb {R} )$ är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• $K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})$ är direkta summan av multiplikativa gruppen av $\mathbb {F} _{p}$ och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• $K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )$ är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och cykliska grupper av ordning $p-1$ för alla udda primtal $p$.

Användningar

Milnors K-teori har en fundamental roll i högre klasskroppsteori, där den ersätter $K_{1}^{M}$ i endimensionell klasskroppsteori.

Milnors K-teori modulo 2, betecknad med k_*(F), är relaterad till étalekohomologin (eller Galoiskohomologin) av kroppen F enligt Milnors förmodan, bevisad av Voevodsky. Analogin för udda primtal är Bloch–Katos förmodan, bevisad av Voevodsky, Rost och andra.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Milnor K-theory, 25 februari 2015.

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. "101". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. "67". American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2 
• Milnor, John Willard (1970). ”Algebraic K-theory and quadratic forms”. Inventiones Mathematicae 9: sid. 318–344. doi:10.1007/BF01425486. ISSN 0020-9910. 

Vidare läsning

• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. "124". Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4041-X