โคมไฟของทอมสัน
 | บทความนี้ต้องการการจัดหน้า จัดหมวดหมู่ ใส่ลิงก์ภายใน หรือเก็บกวาดเนื้อหา ให้มีคุณภาพดีขึ้น คุณสามารถปรับปรุงแก้ไขบทความนี้ได้ และนำป้ายออก พิจารณาใช้ป้ายข้อความอื่นเพื่อชี้ชัดข้อบกพร่อง |
โคมไฟของทอมสัน เป็นปริศนาทางปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับเรื่องอนันต์ กำเนิดขึ้นมาในปี 1954 โดยนักปรัชญาชาวอังกฤษ เจมส์ เอฟ. ทอมสัน เป็นผู้ที่เริ่มการวิเคราะห์ถึงความเป็นไปได้ของซูเปอร์ทาสก์ ที่ซึ่งเกี่ยวกับตัวเลขอนันต์
| เวลา | เปิด/ปิด |
|---|---|
| 0.000 | เปิด |
| 1.000 | ปิด |
| 1.500 | เปิด |
| 1.750 | ปิด |
| 1.875 | เปิด |
| ... | ... |
| 2.000 | ? |
ปัญหา
[แก้]ให้หลอดไฟมีระบบเปิดปิดที่ใช้ทอกเกิลสวิตช์ ที่เมื่อกดสวิตช์หนึ่งครั้งแล้วหลอดไฟจะเปิด เมื่อกดอีกครั้งจะปิด ต่อไป ให้กระทำการตามขั้นตอนต่อไปนี้ : เริ่มตัวจับเวลา จะมีคนเปิดไฟ เมื่อผ่านไปหนึ่งนาที ก็ปิดไฟ และเมื่อผ่านไปอีกครึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก 1/4 ของหนึ่งนาที ก็ปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก 1/8 ของหนึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ โดยรอให้ถึงครึ่งหนึ่งของ ณ เวลานั้น ๆ จึงกดสวิตช์[1] ผลรวมของเวลาอนุกรมอนันต์นี้คือสองนาที[2]
คำถามก็คือ : หลอดไฟจะเปิดหรือปิดภายในเวลาสองนาที?[1] ทอมสันได้ให้เหตุผลเรื่องความขัดแย้งไว้ดังนี้ :
- ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้ หลอดไฟจะเปิดไม่ได้ เพราะไม่มีสักครั้งที่จะเปิดหลอดไฟโดยที่ไม่ปิดมาก่อนเลย หลอดไฟจะปิดไม่ได้ เพราะก่อนจะปิดได้นั้นก็ต้องเปิดมาก่อน แล้วต่อจากนั้น ก็จะไม่ปิดโดยที่ไม่เปิดมาก่อนได้ แต่หลอดไฟต้องเปิดหรือปิดอย่างแน่นอน แต่กลับกลายเป็นข้อขัดแย้งไปซะเอง[1]
การเปรียบเทียบกับอนุกรมทางคณิตศาสตร์
[แก้]ปัญหานี้มีความคล้ายคลึงกับอนุกรมแกรนดี
- S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
สำหรับผลรวมของอนุกรมข้างต้น หาก n เป็นจำนวนคู่ ผลรวมจะเท่ากับ 1 แต่หาก n เป็นจำนวนคี่ ผลรวมจะได้ 0 หรือก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ลำดับอนุกรมจะเป็น {1, 0, 1, 0...} ซึ่งแสดงถึงสถานะของหลอดไฟ[3] อนุกรมนี้จะไม่บรรจบกัน แต่ก็ไม่ใช่อนุกรมอนันต์
หรือเมื่อจัดรูปอนุกรมใหม่จะได้ :
- S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)
อนุกรมอนันต์ที่อยู่ในวงเล็บมีค่าเท่ากับอนุกรม S ซึ่งก็หมายความว่าS = 1 − S จะได้ S = 1⁄2 ซึ่งในความเป็นจริง ผลรวมนี้ออกแบบมาเพื่อสนับสนุนข้อที่ว่า : มีการจำกัดผลรวมของอนุกรมที่ทำให้ค่าอนุกรมแกรนดีเท่ากับ 1⁄2
ส่วนหนึ่งของงานเขียนของเขาในปี 1954 ได้เขียนเรื่องการเปรียบเทียบของอนุกรมแกรนดีกับโคมไฟของเขาไว้
- "แล้วคำถามที่ว่าโคมไฟจะเปิดหรือปิด...คือคำถามที่ว่า : ผลรวมของลำดับลู่ออก
- +1, −1, +1, …?
- "นักคณิตศาสตร์ก็ได้ออกมากล่าวว่าลำดับนี้มีผลรวม พวกเขาบอกว่าผลรวมคือ 1⁄2 แล้วคำตอบนั่นก็ไม่ได้ช่วยอะไรเราเลย เพราะเราไม่ยอมรับที่จะบอกว่าโคมไฟนั้นกึ่งปิดกึ่งเปิด ซึ่งหมายความว่า จะยังไม่มีคำตอบโดยสมบูรณ์ว่าอะไรจะได้คำตอบลงไปอีกเมื่อซูเปอร์ทาสก์นั้นได้คำตอบ ... เราไม่อาจคาดหวังที่จะเลือกความคิดนี้แค่เพียงเพราะเรามีความคิดเรื่องทาสก์ หรือหลาย ๆ ทาสก์ที่เราได้พิสูจน์ตามความคุ้นเคยกับจำนวนเหนืออนันต์ (Transfinite Numbers)"[4]
ดูเพิ่ม
[แก้]หมายเหตุ
[แก้]- ↑ 1.0 1.1 1.2 Thomson 1954, p. 5.
- ↑ Thomson 1954, p. 9.
- ↑ Thomson 1954, p. 6.
- ↑ Thomson p.6. For the mathematics and its history he cites Hardy and Waismann's books, for which see History of Grandi's series.
อ้างอิง
[แก้]- Allen, Benjamin William (2008). Zeno, Aristotle, the Racetrack and the Achilles: A Historical and Philosophical Investigation. New Brunswick, NJ: Rutgers, The State University of New Jersey. pp. 209–210. ISBN 9781109058437.[ลิงก์เสีย]
- Benacerraf, Paul (1962). "Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics". The Journal of Philosophy. 59 (24): 765–784. doi:10.2307/2023500. JSTOR 2023500.
- Huggett, Nick (2010). Everywhere and Everywhen : Adventures in Physics and Philosophy: Adventures in Physics and Philosophy. Oxford University Press. pp. 22–23. ISBN 9780199702114.
- Thomson, James F. (October 1954). "Tasks and Super-Tasks". Analysis. Analysis, Vol. 15, No. 1. 15 (1): 1–13. doi:10.2307/3326643. JSTOR 3326643.
- Earman, John and Norton, John (1996) Infinite Pains: The Trouble with Supertasks. In Benacerraf and his Critics, Adam Morton and Stephen P. Stich (Eds.), p. 231-261.