Теорія зображень

Теорія зображень — розділ квантової механіки, в якому розглядаються різні форми подання основних квантовомеханічних рівнянь.

Теорія зображень розроблена Полем Діраком. При розв'язку квантово-механічних задач використовуються різні зображення, виходячи з міркувань зручності. Серед найвідоміших із них: координатне зображення, імпульсне зображення, енергетичне зображення, картина Шредінгера, картина Гейзенберга, картина взаємодії, зображення чисел заповнення тощо.

Базиси у гільбертовому просторі станів

Квантова механіка виходить з того, що фізична система описується вектором у певному гільбертовому просторі, який називають вектором стану. Зручно працювати не з самими векторами, а з розкладом цих векторів у певному базисі. Оскільки вибір базису в гільбертовому просторі неоднозначний, то й розкладів вектора стану може бути як завгодно багато. Такі розклади називаються зображеннями.

Базис у Гільбертовому просторі зручно будувати з власних векторів певного оператора. В залежності від вибраного оператора розрізняють різні зображення.

Координатне зображення

В координатному зображенні фізична система описується хвильовою функцією, залежною від координат частинок. Оператори, які відповідають вимірюваним фізичним величинам також залежать від координат частинок. Середнє значення вимірюваної величини A визначається як

$\langle A\rangle =\int \psi ^{*}(\xi ){\hat {A}}\psi (\xi )d\xi$,

де ${\hat {A}}$ — оператор величини A, $\psi (\xi )\,$ — хвильова функція, а $\xi$ — узагальнене позначення для координато всіх частинок фізичної системи.

Еволюція хвильової функції описується рівнянням Шредінгера

Імпульсне зображення

Базис у гільбертовому просторі станів можна скласти з власних функцій оператора імпульсу ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$. При цьому отримують зображення, яке називають імпульсним. Воно зручне для вивчення задач розсіювання.

Власні функції оператора імпульсу суть монохроматичні плоскі хвилі із хвильовим вектором $\mathbf {k}$, який можна вибрати як квантове число. Позначивши ці власні функції $\langle \mathbf {r} |\mathbf {k} \rangle$ (дивіться Бра-кет нотація), причому

$\langle \mathbf {k} ^{\prime }|\mathbf {k} \rangle =\int \langle \mathbf {k} ^{\prime }|\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\mathbf {k} \rangle dr^{3}=\delta (\mathbf {k} ^{\prime }-\mathbf {k} )$

де $\delta (x)$ — дельта-функція Дірака, координатну хвильову функцію $\psi _{a}(\mathbf {r} )$ можна розкласти в базисі, утвореному цими фунціями

$\psi _{a}(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |a\rangle =\int \langle \mathbf {r} |\mathbf {k} \rangle \langle \mathbf {k} |a\rangle d^{3}k$

Функція $\psi _{a}(\mathbf {k} )=\langle \mathbf {k} |a\rangle$ описує квантову систему в імпульсному зображенні.

Середнє значення фізичної величини визначається, як

$\langle A\rangle =\int \langle a|\mathbf {r} \rangle {\hat {A}}\langle \mathbf {r} |a\rangle dr^{3}=\langle A\rangle =\int \int \int \langle a|\mathbf {k} ^{\prime }\rangle \langle \mathbf {k} ^{\prime }|\mathbf {r} \rangle {\hat {A}}\langle \mathbf {r} |\mathbf {k} \rangle \langle \mathbf {k} |a\rangle dr^{3}dk^{\prime 3}dk^{3}$

Функція двох змінних $A(\mathbf {k} ^{\prime },\mathbf {k} )=\int \langle \mathbf {k} ^{\prime }|\mathbf {r} \rangle {\hat {A}}\langle \mathbf {r} |\mathbf {k} \rangle dr^{3}$ задає квантовомеханічний оператор в імпульсному зображенні.

Енергетичне зображення

В енергетичному зображенні базис гільбертового простору станів вибирається з власних функцій оператора енергії — гамільтоніана. Якщо n — квантове число, що характеризує стани з енергією $E_{n}\,$, то для функції $\psi _{a}(\xi )$ існує розклад

$\psi _{a}(\xi )=\langle \xi |a\rangle =\sum _{n}\langle \xi |n\rangle \langle n|a\rangle$.

Коефіцієнти розкладу $\langle n|a\rangle$ утворюють вектор у гільбертовому просторі. У випадку дискретного спектру енергій його можна подати у вигляді нескінченного стовпчика. У випадку неперервного спектру — це функція, аргументами якої є енергія та інші квантові числа.

Оператором вимірваної величини є матриця, елементи якої визначаються з рівняння

$A_{nm}=\int \langle n|\xi \rangle {\hat {A}}\langle \xi |m\rangle d\xi$

Зображення чисел заповнення

Розглядаючи стани в просторі Фока, можна побудувати базис таким чином, щоб окрім інших квантових чисел, таких як хвильовий вектор, спін тощо, базисні хвильові функції були власними функціями оператора числа частинок

${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$,

де ${\hat {a}}^{\dagger }$ і ${\hat {a}}$ — оператори народження і знищення, відповідно. Тоді позначення

$|n\rangle =({\hat {a}}^{\dagger })^{n}|0\rangle$

має прозоре фізичне значення — число частинок у даному квантовому стані. Для бозонів n може приймати довільні цілі невід'ємні значення, для ферміонів n може бути нулем, або одиницею.

Таке зображення називається зображенням чисел заповнення.

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1983. — 664 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.