Евклідів простір: відмінності між версіями

	Евклідів простір
Названо на честь	Евклід
Досліджується в	математика
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Характеристика Ейлера	1
Протилежне	curved spaced

Інтерактивний перегляд історії

[перевірена версія]

← Попереднє редагування

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Лінійно

Поточна версія на 20:27, 29 вересня 2024

Евклідів простір — скінченновимірний дійсний векторний простір $E$ зі скалярним добутком ^[1]. Названий на честь давньогрецького математика Евкліда з Александрії.^[2] Кожна точка тривимірного Евклідового простору визначається трьома координатами (див. рис.). Розширює двовимірну евклідову площину до тривимірного простору, і є поняттям Евклідової геометрії. Термін «евклідовий» дозволяє відрізняти ці простори від інших типів просторів, що можуть розглядатися в сучасній геометрії. Евклідів простір також узагальнюють і до більшої кількості вимірів.

В класичній давньогрецькій геометрії існує визначення евклідової площини й тривимірного евклідового простору, що ґрунтується на певних постулатах, в той час, як інші властивості цих просторів виведені як теореми. Також використовувалися геометричні побудови для визначення раціональних чисел, що є відношеннями співмірних довжин^[en]^{[джерело?]}^{[сумнівно — обговорити]}. Коли алгебра і математичний аналіз набули достатнього розвиту, цей зв'язок зберігся і тепер більш загальним стало визначення Евклідового простору на основі векторних просторів, що дозволяють використовувати декартові координати і методи алгебри та диференціального та інтегрального числення. Це означає, що точки визначають за допомогою трійок дійсних чисел, які називаються координатними векторами, а геометричні фігури описують рівняннями і нерівностями, що визначають співвідношення цих координат. Цей підхід також дозволяє легко узагальнити w. геометрію до евклідових просторів до просторів більшої розмірності.

Евклідів простір визначено за допомогою аксіом, які не вказують як саме мають бути представлені точки цього простору.^[3] Евклідів простір може бути побудований за допомогою декартової системи координат, як один із можливих способів його представлення. В такому випадку, Евклідів простір моделюють застосовуючи дійсний простір координат ( $\mathbb {R} ^{n}$ ), що має таку ж розмірність. Для одного виміру це була б шкала дійсних чисел; для двох вимірів, він представляється декартовою системою координат на площині; і для більшої кількості вимірів, це є координатний простір^[en] із трьома або більше координатами, що представлені дійсними числами. Математики позначають $n$ -вимірний Евклідів простір як $\mathbb {E} ^{n}$ , якщо вони хочуть підкреслити його природу та властивості, але також використовують позначення $\mathbb {R} ^{n}$ , оскільки ці дві структури мають подібні властивості і їх як правило не розрізняють. Евклідові простори мають скінченну кількість вимірів.^[4]

Евклідова метрика

Нехай декартові координати в тривимірному просторі такі, що якщо точці $P$ відповідають три її координати $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , а точці $Q$ — координати $(y_{1},y_{2},y_{3})$ . Тоді, якщо квадрат довжини прямолінійного відрізку, що з'єднує $P$ та $Q$ дорівнює: $l^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}$ , то такий простір називають евклідовим простором, а декартові координати з такими властивостями називають евклідовими координатами.

Узагальнюючи на випадок n вимірів, отримаємо $l^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\dots (x_{n}-y_{n})^{2}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^{2}$ .

Функція відстані між двома точками має назву метрики, а наведений вище вид такої функції для евклідового простору має назву евклідової метрики.

Вектори в евклідовому просторі

З точками евклідового простору зручно зіставити вектори. Назвемо вектор, направлений від початку координат у точку $P$ радіус-вектором цієї точки. Декартові координати $(x_{1},x_{2},x_{3})$ точки $P$ будемо називати координатами радіус-вектора. Два вектори, які направлені з початку координат до точок $P$ та $Q$ з координатами $\mathbf {p} =(x_{1},x_{2},x_{3})$ та $\mathbf {q} =(y_{1},y_{2},y_{3})$ можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор $\mathbf {p} +\mathbf {q}$ з координатами $(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})$ .

Можна також помножити вектор на число (скаляр). Одиничні вектори $\mathbf {e} _{1}=(1,0,0)$ , $\mathbf {e} _{2}=(0,1,0)$ , $\mathbf {e} _{3}=(0,0,1)$ мають довжину, яка дорівнює $1$ , а самі вектори взаємно перпендикулярні.

Будь-який вектор $\mathbf {v} =(x_{1},x_{2},x_{3})$ може бути розкладений по одиничних векторах: $\mathbf {v} =\mathbf {e} _{1}x_{1}+\mathbf {e} _{2}x_{2}+\mathbf {e} _{3}x_{3}$ . Тут простір тривимірний. Для $n$ -вимірного простору все аналогічно. Тому евклідів простір визначається також як лінійний (векторний) простір, в якому квадрат відстані між точками (кінцями радіус-векторів) визначається за формулою $l^{2}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^{2}$

Див. також

Примітки

↑ А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
↑ Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (вид. 4th). Dover Publications. с. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
↑ Gabi, Aalex. What is the difference between Euclidean and Cartesian spaces?. Mathematics Stack Exchange. Mathematics Stack Exchange.
↑ E.D. Solomentsev (7 лютого 2011). Euclidean space. Encyclopedia of Mathematics. Springer. Архів оригіналу за 2 травня 2014. Процитовано 1 травня 2014.

Джерела

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)

[kostr-1] А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

[2] Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (вид. 4th). Dover Publications. с. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.

[3] Gabi, Aalex. What is the difference between Euclidean and Cartesian spaces?. Mathematics Stack Exchange. Mathematics Stack Exchange.

[mathen-4] E.D. Solomentsev (7 лютого 2011). Euclidean space. Encyclopedia of Mathematics. Springer. Архів оригіналу за 2 травня 2014. Процитовано 1 травня 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Рядок 1: / Рядок 1: @@
+{{unibox}}
-'''Евклідів простір'''&nbsp;— скінченновимірний дійсний [[векторний простір]] ''E'' із [[скалярний добуток|скалярним добутком]]<ref name="kostr">{{cite book
+'''Евклідів простір'''&nbsp;— [[Скінченновимірний простір|скінченновимірний]] дійсний [[векторний простір]] <math>E</math> зі [[скалярний добуток|скалярним добутком]]
-|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин
+<ref name="kostr">{{cite book|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин |назва=Линейная алгебра и геометрия}}</ref>. Названий на честь [[Давньогрецька математика|давньогрецького математика]] [[Евклід|Евкліда з Александрії]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W.W. Rouse|authorlink=W. W. Rouse Ball|title = A Short Account of the History of Mathematics|origyear=1908|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball|edition=4th|year=1960|publisher= Dover Publications
-|назва=Линейная алгебра и геометрия
+|isbn=0-486-20630-0|pages =[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50 50]–62}}</ref> Кожна точка тривимірного Евклідового простору визначається трьома координатами (див. рис.). Розширює двовимірну евклідову [[Площина|площину]] до [[Тривимірний опис об'єкта|тривимірного простору]], і є поняттям [[Евклідова геометрія|Евклідової геометрії]]. Термін «евклідовий» дозволяє відрізняти ці простори від інших типів просторів, що можуть розглядатися в сучасній геометрії. Евклідів простір також узагальнюють і до [[Розмірність простору|більшої кількості вимірів]].
-}}</ref>. Характеристики евклідового простору неформально можна вважати узагальненнями звичних та досліджуваних [[Евклід]]ом 2- та 3-вимірних просторів.
+В класичній [[Історія геометрії|давньогрецькій геометрії]] існує визначення евклідової площини й тривимірного евклідового простору, що ґрунтується на певних [[Аксіома|постулатах]], в той час, як інші властивості цих просторів виведені як [[Теорема|теореми]]. {{Джерело?|Також використовувалися геометричні побудови для визначення [[Раціональні числа|раціональних чисел]], що є відношеннями {{нп|Співмірні величини|співмірних довжин|en|commensurability (mathematics)}}}}{{сумнівно}}. Коли [[алгебра]] і [[математичний аналіз]] набули достатнього розвиту, цей зв'язок зберігся і тепер більш загальним стало визначення Евклідового простору на основі [[Векторний простір|векторних просторів]], що дозволяють використовувати [[Декартова система координат|декартові координати]] і методи [[алгебра|алгебри]] та [[Диференціальне та інтегральне числення|диференціального та інтегрального числення]]. Це означає, що [[Точка|точки]] визначають за допомогою [[Кортеж (інформатика)|трійок]] [[Дійсне число|дійсних чисел]], які називаються координатними векторами, а [[Геометрична фігура|геометричні фігури]] описують [[рівняння]]ми і [[Нерівність|нерівностями]], що визначають співвідношення цих координат. Цей підхід також дозволяє легко узагальнити w. геометрію до евклідових просторів до просторів більшої розмірності.
+Евклідів простір визначено за допомогою аксіом, які не вказують як саме мають бути представлені точки цього простору.<ref>{{cite web|last1=Gabi|first1=Aalex|title=What is the difference between Euclidean and Cartesian spaces?|url=https://math.stackexchange.com/q/112076|website=Mathematics Stack Exchange|publisher=Mathematics Stack Exchange}}</ref> Евклідів простір може бути побудований за допомогою декартової системи координат, як один із можливих способів його представлення. В такому випадку, Евклідів простір моделюють застосовуючи дійсний простір координат (<math>\mathbb{R}^n</math>), що має таку ж розмірність. Для одного виміру це була б шкала дійсних чисел; для двох вимірів, він представляється [[Декартова система координат|декартовою системою координат]] на площині; і для більшої кількості вимірів, це є {{нп|координатний простір||en|coordinate space}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:coordinate space]] (→ [[:en:Vector space#Coordinate space]]) перекладена як [[Векторний простір]], хоча хотіли [[координатний простір]] (SashkoR0B0T)--> із трьома або більше координатами, що представлені дійсними числами. Математики позначають <math>n</math>[[Розмірність простору|-вимірний]] Евклідів простір як <math>\mathbb{E}^n</math>, якщо вони хочуть підкреслити його природу та властивості, але також використовують позначення <math>\mathbb{R}^n</math>, оскільки ці дві [[Математичні структури|структури]] мають подібні властивості і їх як правило не розрізняють. Евклідові простори мають скінченну кількість вимірів.<ref name="mathen">{{cite web|title=Euclidean space.|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euclidean_space|work=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|accessdate=1 травня 2014|author=E.D. Solomentsev|date=7 лютого 2011|archive-date=2 травня 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140502001924/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euclidean_space}}</ref>
 == Евклідова метрика ==
-Нехай [[декартові координати]] в тривимірному просторі такі, що якщо точці P відповідають три її координати (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>), а точці Q&nbsp;— координати (y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, y<sub>3</sub>). Тоді, якщо квадрат довжини прямолінійного [[відрізок|відрізку]], що з'єднує P та Q дорівнює: <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2</math>, то такий простір називають ''евклідовим простором'', а декартові координати з такими властивостями називають ''евклідовими координатами''.
+Нехай [[декартові координати]] в тривимірному просторі такі, що якщо точці <math>P</math> відповідають три її координати <math>(x_1,x_2,x_3)</math>, а точці <math>Q</math>&nbsp;— координати <math>(y_1,y_2,y_3)</math>. Тоді, якщо квадрат довжини прямолінійного [[відрізок|відрізку]], що з'єднує <math>P</math> та <math>Q</math> дорівнює: <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2</math>, то такий простір називають ''евклідовим простором'', а декартові координати з такими властивостями називають ''евклідовими координатами''.
 Узагальнюючи на випадок n вимірів, отримаємо <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots (x_n-y_n)^2 = \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2</math>.
-Функція відстані між двома точками має назву [[метрика|метрики]], а наведений вище вид такої функції для евклідового простору має назву [[евклідова метрика|евклідової метрики]].
+Функція відстані між двома точками має назву [[метричний простір|метрики]], а наведений вище вид такої функції для евклідового простору має назву [[евклідова метрика|евклідової метрики]].
 == Вектори в евклідовому просторі ==
-З точками евклідового простору зручно зіставити [[вектор]]и. Назвемо вектор, направлений від [[початок координат|початку координат]] у точку P [[радіус-вектор]]ом цієї точки. Декартові координати (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>) точки Р будемо називати координатами радіус-вектора.
+З точками евклідового простору зручно зіставити [[вектор]]и. Назвемо вектор, направлений від [[початок координат|початку координат]] у точку <math>P</math> [[радіус-вектор]]ом цієї точки. Декартові координати <math>(x_1,x_2,x_3)</math> точки <math>P</math> будемо називати координатами радіус-вектора. Два вектори, які направлені з початку координат до точок <math>P</math> та <math>Q</math> з координатами <math>\mathbf{p}=(x_1,x_2,x_3)</math> та <math>\mathbf{q}=(y_1,y_2,y_3)</math> можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор <math>\mathbf{p}+\mathbf{q}</math> з координатами <math>(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)</math>.
-Два вектори, які направлені з початку координат до точок P та Q з координатами '''p'''= (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>) та '''q'''= (y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, y<sub>3</sub>) можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор '''p'''+'''q''' з координатами (x<sub>1</sub> + y<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> + y<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> +
-y<sub>3</sub>).
-Можна також помножити вектор на число (скаляр). Одиничні вектори '''e'''<sub>1</sub> = (1, 0, 0), '''e'''<sub>2</sub> = (0, 1, 0), '''e'''<sub>3</sub> = (0, 0, 1) мають довжину, яка дорівнює 1, а самі вектори взаємно перпендикулярні.
+Можна також помножити вектор на число (скаляр). Одиничні вектори <math>\mathbf{e}_1=(1,0,0)</math>, <math>\mathbf{e}_2=(0,1,0)</math>, <math>\mathbf{e}_3=(0,0,1)</math> мають довжину, яка дорівнює <math>1</math>, а самі вектори взаємно перпендикулярні.
+Будь-який вектор <math>\mathbf{v}=(x_1,x_2,x_3)</math> може бути розкладений по одиничних векторах: <math>\mathbf{v}=\mathbf{e}_1x_1+\mathbf{e}_2x_2+\mathbf{e}_3x_3</math>. Тут простір тривимірний. Для <math>n</math>-вимірного простору все аналогічно. Тому евклідів простір визначається також як лінійний (векторний) простір, в якому квадрат відстані між точками (кінцями радіус-векторів) визначається за формулою <math>l^2= \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2</math>
-Будь-який вектор '''v''' (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>) може бути розкладений по одиничних векторах: '''v''' = '''e'''<sub>1</sub>x<sub>1</sub> + '''e'''<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + '''e'''<sub>3</sub>x<sub>3</sub>.
-Тут простір тривимірний. Для ''n''-вимірного простору все аналогічно. Тому евклідів простір визначається також як лінійний (векторний) простір, в якому квадрат відстані між точками (кінцями радіус-векторів) визначається за формулою <math>l^2= \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2</math>
-== Джерела інформації ==
-{{примітки}}
 == Див. також ==
 {{Портал|Математика}}
+* [[Гіперболічна геометрія]]
-* [[Геометрія Лобачевського]],
+* [[Гіперболічний простір]]
-* [[Планіметрія]], [[Стереометрія]].
+* [[Планіметрія]]
+* [[Стереометрія]]
+== Примітки ==
+{{примітки}}
+== Джерела ==
+* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
+* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
 {{Багатовимірність}}
@@ Рядок 35: / Рядок 42: @@
 [[Категорія:Лінійна алгебра]]
 [[Категорія:Топологічні простори]]
+[[Категорія:Топологічні векторні простори]]

п о р Розмірність
Вимірні простори	Векторний простір Евклідів простір Афінний простір Проєктивний простір Вільний модуль Многовид Алгебричний многовид Простір-час
Інші розмірності	Круля Гомологічна^[en] Лебега Індуктивна^[en] Гаусдорфа Мінковського Фрактальна Ступені вільности Старші розмірності
Політопи і форми	Гіперплощина Гіперповерхня Гіперкуб Гіперсфера Гіперпрямокутник Демігіперкуб^[en] Перехресний політоп Симплекс
Розмірності за числом	Нуль Один Два Три Чотири П'ять^[en] Шість^[en] (ступені вільності^[en]) Сім^[en] Вісім^[en] n-розмірність
Розмірність

Евклідів простір: відмінності між версіями

Поточна версія на 20:27, 29 вересня 2024

Зміст

Евклідова метрика

Вектори в евклідовому просторі

Див. також

Примітки

Джерела

Навігаційне меню

Евклідів простір: відмінності між версіями

Поточна версія на 20:27, 29 вересня 2024

Евклідова метрика

Вектори в евклідовому просторі

Див. також

Примітки

Джерела

Навігаційне меню

Пошук