Сферичний многогранник
Сферичний многогранник або сферична мозаїка — це мозаїка на сфері, в якій поверхню розділено великими дугами на обмежені ділянки, звані сферичними многокутниками. Значна частина теорії симетричних многогранників використовує сферичні многогранники.
Найвідомішим прикладом сферичного многогранника є футбольний м'яч, який можна розглядати як зрізаний ікосаедр.
Деякі «невласні» многогранники, такі як осоедри та двоїсті їм діедри, існують лише як сферичні многогранники і не мають аналогів із плоскими гранями. У таблиці з прикладами нижче {2, 6} — осоедр, а — {6, 2} двоїстий йому діедр.
Перші відомі зроблені людиною многогранники — це сферичні многогранники, висічені в камені. Чимало їх знайдено в Шотландії і датовано періодом неоліту.
За часів європейських «темних століть» ісламський учений Абу-ль-Вафа аль-Бузджані написав першу серйозну працю про сферичні многогранники.
На початку XIX століття Пуансо використав сферичні многогранники для виявлення чотирьох правильних зірчастих многогранників.
У середині XX століття Коксетер використав їх для перерахування всіх (за винятком одного) однорідних багатогранників, за допомогою калейдоскопічної побудови (побудова Вітгоффа).
Усі правильні, напівправильні многогранники та двоїсті їм можна спроєктувати на сферу як мозаїку. У таблиці нижче наведено символи Шлефлі {p, q} та схеми вершинних фігур a.b.c. …:
| Символ Шлефлі | {p, q} | t{p, q} | r{p, q} | t{q, p} | {q, p} | rr{p, q} | tr{p, q} | sr{p, q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вершинна фігура | pq | q.2p.2p | p.q.p.q | p. 2q.2q | qp | q.4.p. 4 | 4.2q.2p | 3.3.q.3.p |
| Тетраедрична симетрія (3 3 2) |
 33
|
 3.6.6 |
 3.3.3.3 |
 3.6.6
|
 33
|
 3.4.3.4 |
 4.6.6 |
 3.3.3.3.3 |
 V3.6.6 |
 V3.3.3.3
|
V3.6.6
|
 V3.4.4.4
|
 V4.6.6 |
 V3.3.3.3.3 | |||
| Октаедрична симетрія (4 3 2) |
 43
|
 3.8.8 |
 3.4.3.4 |
 4.6.6
|
 34
|
 3.4.4.4 |
 4.6.8 |
 3.3.3.3.4 |
 V3.8.8 |
 V3.4.3.4
|
V4.6.6
|
V3.4.4.4
|
 V4.6.8[en]
|
 V3.3.3.3.4 | |||
| Ікосаедрична симетрія (5 3 2) |
53
|
 3.10.10 |
 3.5.3.5 |
 5.6.6
|
 35
|
 3.4.5.4 |
 4.6.10 |
 3.3.3.3.5 |
 V3.10.10
|
 V3.5.3.5
|
 V5.6.6
|
 V3.4.5.
|
 V4.6.10 |
 V3.3.3.3.5[en]
| |||
| Діедричні приклади=6 (2 2 6) |
 62
|
 2.12.12 |
2.6.2.6 |
 6.4.4
|
 26
|
 4.6.4 |
 4.4.12[en] |
 3.3.3.6 |
| Клас | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Призма (2 2 p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Біпіраміда (2 2 p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Антипризма | 
|
|
|
|
|
|
|
|
| Трапецоедр |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сферичні мозаїки допускають випадки, які неможливі для многогранників, а саме — осоедри, правильні фігури {2,n}, та діедри, правильні фігури {n,2}.
| Малюнок | 
|
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Шлефлі | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8}… |
| Коксетер |   
|
|
|
|
|
|
|
| Грані та ребра |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Вершини | 2 | ||||||
| Малюнок |
|
|
|
|
|
| Шлефлі | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2}… |
|---|---|---|---|---|---|
| Коксетер |
|
|
|
|
|
| Грані | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Ребра та вершини |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Оскільки сфера є дволистим накриттям проєктивної площини, проєктивні многогранники відповідають подвійному накриттю сферичними многогранниками, які мають центральну симетрію.
Найвідомішими прикладами проєктивних многогранників є правильні проєктивні многогранники, утворені з центрально симетричних правильних многогранників, а також із нескінченних сімейств парних діедрів та осоедрів:[1]
- Напівкуб[en], {4,3}/2
- Напівоктаедр[en], {3,4}/2
- Напівдодекаедр, {5,3}/2
- Напівікосаедр, {3,5}/2
- Напівдіедр, {2p,2}/2, p>=1
- Напівосоедр, {2,2p}/2, p>=1
- Теселяція
- Сферична геометрія
- Сферична тригонометрія
- Многогранник
- Проєктивний многогранник[en]
- Тороїдальний многогранник
- ↑ Кокстер, 1966, с. 547-552 §3 Правильные карты.
- Peter McMullen, Egon Schulte. 6C. Projective Regular Polytopes // Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
- L. Poinsot. Memoire sur les polygones et polyèdres // J. de l'École Polytechnique. — 1810. — Вип. 9. — С. 16–48.
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:.
- H.S.M Coxeter. Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- Г. С. М. Кокстер. Введение в геометрию. — М. : Наука, 1966.