Сферичний многогранник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Найвідоміший сферичний многогранник — це футбольний м'яч, який є сферичним зрізаним ікосаедром
Цей пляжний м'яч — приклад осоедра зі шістьма серпоподібними гранями, якщо видалити два білі круги на кінцях.

Сферичний многогранник або сферична мозаїка — це мозаїка на сфері, в якій поверхню розділено великими дугами на обмежені ділянки, звані сферичними многокутниками. Значна частина теорії симетричних многогранників використовує сферичні многогранники.

Найвідомішим прикладом сферичного многогранника є футбольний м'яч, який можна розглядати як зрізаний ікосаедр.

Деякі «невласні» многогранники, такі як осоедри та двоїсті їм діедри, існують лише як сферичні многогранники і не мають аналогів із плоскими гранями. У таблиці з прикладами нижче {2, 6} — осоедр, а — {6, 2} двоїстий йому діедр.

Історія

[ред. | ред. код]

Перші відомі зроблені людиною многогранники — це сферичні многогранники, висічені в камені. Чимало їх знайдено в Шотландії і датовано періодом неоліту.

За часів європейських «темних століть» ісламський учений Абу-ль-Вафа аль-Бузджані написав першу серйозну працю про сферичні многогранники.

На початку XIX століття Пуансо використав сферичні многогранники для виявлення чотирьох правильних зірчастих многогранників.

У середині XX століття Коксетер використав їх для перерахування всіх (за винятком одного) однорідних багатогранників, за допомогою калейдоскопічної побудови (побудова Вітгоффа).

Приклади

[ред. | ред. код]

Усі правильні, напівправильні многогранники та двоїсті їм можна спроєктувати на сферу як мозаїку. У таблиці нижче наведено символи Шлефлі {p, q} та схеми вершинних фігур a.b.c. …:

Символ Шлефлі {p, q} t{p, q} r{p, q} t{q, p} {q, p} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
Вершинна фігура pq q.2p.2p p.q.p.q p. 2q.2q qp q.4.p. 4 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Тетраедрична симетрія
(3 3 2)
33
3.6.6

3.3.3.3
3.6.6 33
3.4.3.4

4.6.6

3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3 V3.6.6 V3.4.4.4
V4.6.6

V3.3.3.3.3
Октаедрична симетрія
(4 3 2)
43
3.8.8

3.4.3.4
4.6.6 34
3.4.4.4

4.6.8

3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4 V4.6.6 V3.4.4.4 V4.6.8[en]
V3.3.3.3.4
Ікосаедрична симетрія
(5 3 2)
53
3.10.10

3.5.3.5
5.6.6 35
3.4.5.4

4.6.10

3.3.3.3.5
V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.4.5.
V4.6.10
V3.3.3.3.5[en]
Діедричні
приклади=6
(2 2 6)
62
2.12.12

2.6.2.6
6.4.4 26
4.6.4

4.4.12[en]

3.3.3.6
Клас 2 3 4 5 6 7 8 10
Призма
(2 2 p)
Біпіраміда
(2 2 p)
Антипризма
Трапецоедр

Невласні випадки

[ред. | ред. код]

Сферичні мозаїки допускають випадки, які неможливі для многогранників, а саме — осоедри, правильні фігури {2,n}, та діедри, правильні фігури {n,2}.

Сімейство правильних осоедрів
Малюнок
Шлефлі {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8}…
Коксетер
Грані та
ребра
2 3 4 5 6 7 8
Вершини 2
Правильні діедри: (сферичні мозаїки)
Малюнок
Шлефлі {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}…
Коксетер
Грані 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Ребра та
вершини
2 3 4 5 6

Зв'язок із мозаїками на проєктивній площині

[ред. | ред. код]

Оскільки сфера є дволистим накриттям проєктивної площини, проєктивні многогранники відповідають подвійному накриттю сферичними многогранниками, які мають центральну симетрію.

Найвідомішими прикладами проєктивних многогранників є правильні проєктивні многогранники, утворені з центрально симетричних правильних многогранників, а також із нескінченних сімейств парних діедрів та осоедрів:[1]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Кокстер, 1966, с. 547-552 §3 Правильные карты.

Література

[ред. | ред. код]
  • Peter McMullen, Egon Schulte. 6C. Projective Regular Polytopes // Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • L. Poinsot. Memoire sur les polygones et polyèdres // J. de l'École Polytechnique. — 1810. — Вип. 9. — С. 16–48.
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
  • H.S.M Coxeter. Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Г. С. М. Кокстер. Введение в геометрию. — М. : Наука, 1966.