Гауссів q-розподіл — сімейство розподілів ймовірностей , що є q-аналогом гауссового або нормального розподілу . Включає в себе, рівномірний розподіл і нормальний (гауссів) розподіл як граничні випадки. Розподіл симетричний відносно нуля і обмежений, за винятком в граничному випадку нормального розподілу. Гауссів q-розподіл, уведений Діазом і Теруелем, використовується у математичній фізиці і теорії ймовірності та статистики.
Нехай q дійсне число в інтервалі [0, 1). Функція щільності ймовірності гауссового Q-розподілу задається наступним чином
s
q
(
x
)
=
{
0
if
x
<
−
ν
1
c
(
q
)
E
q
2
−
q
2
x
2
[
2
]
q
if
−
ν
≤
x
≤
ν
0
if
x
>
ν
.
{\displaystyle {\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}}
де
ν
=
ν
(
q
)
=
1
1
−
q
,
c
(
q
)
=
2
(
1
−
q
)
1
/
2
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
q
m
(
m
+
1
)
(
1
−
q
2
m
+
1
)
(
1
−
q
2
)
q
2
m
.
{\displaystyle {\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},}{\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.}}
Q-аналог
[
t
]
q
{\displaystyle [t]q}
t
{\displaystyle {\displaystyle t}}
[
t
]
q
=
q
t
−
1
q
−
1
.
{\displaystyle {\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}}
Гауссів Q-розподіл Q-аналог експоненційної функції є Q-експонентів,
E
q
x
{\displaystyle E_{q}^{x}}
E
q
x
=
∑
j
=
0
∞
q
j
(
j
−
1
)
/
2
x
j
[
j
]
!
{\displaystyle {\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}}}
де Q-аналог факторіала є Q-факторіала,
[
n
]
q
!
{\displaystyle [n]q!}
[
n
]
q
!
=
[
n
]
q
[
n
−
1
]
q
⋯
[
2
]
q
,
{\displaystyle {\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\ ,}}
для цілого
n
>
2
{\displaystyle n>2}
[
1
]
q
!
=
[
0
]
q
!
=
1.
{\displaystyle [1]q!=[0]q!=1.}
Кумулятивна функція розподілу гауссового Q-розподілу задається
G
q
(
x
)
=
{
0
if
x
<
−
ν
1
c
(
q
)
∫
−
ν
x
E
q
2
−
q
2
t
2
/
[
2
]
d
q
t
if
−
ν
≤
x
≤
ν
1
if
x
>
ν
{\displaystyle {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}}}
Сукупний гауссів Q-розподіл. де символ інтегрування позначає інтеграл Джексона .
Функція
G
q
{\displaystyle Gq}
G
q
(
x
)
=
{
0
if
x
<
−
ν
,
1
2
+
1
−
q
c
(
q
)
∑
n
=
0
∞
q
n
(
n
+
1
)
(
q
−
1
)
n
(
1
−
q
2
n
+
1
)
(
1
−
q
2
)
q
2
n
x
2
n
+
1
if
−
ν
≤
x
≤
ν
1
if
x
>
ν
{\displaystyle {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}}}
де
(
a
+
b
)
q
n
=
∏
i
=
0
n
−
1
(
a
+
q
i
b
)
.
{\displaystyle {\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).}}
Моменти гауссового Q-розподілу задаються
1
c
(
q
)
∫
−
ν
ν
E
q
2
−
q
2
x
2
/
[
2
]
x
2
n
d
q
x
=
[
2
n
−
1
]
!
!
,
{\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}}
1
c
(
q
)
∫
−
ν
ν
E
q
2
−
q
2
x
2
/
[
2
]
x
2
n
+
1
d
q
x
=
0
,
{\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}}
де символ [2n - 1] !! є Q-аналог подвійного факторіала , який задається
[
2
n
−
1
]
[
2
n
−
3
]
⋯
[
1
]
=
[
2
n
−
1
]
!
!
.
{\displaystyle {\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}}
![{\displaystyle {\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8218df10efcf2d244c6f8a124eb02fea6b0202c)
![{\displaystyle [t]q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182dbca8a2e7a5d86d8e91857731d7e174527397)
![{\displaystyle {\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5897ea85404f1c7e55fa7a044ebc99fcda71777d)
![{\displaystyle {\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d25f8e2683ecdbc02ed7f6e3dda087c54c3cd64)
![{\displaystyle [n]q!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fff9e0c0ed95544d5b645a376e884ecd9683ba)
![{\displaystyle {\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\ ,}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a34e62e74f7ecca57b5a9d2a9a38ce1b787045)
![{\displaystyle [1]q!=[0]q!=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f3dd608a6a71c373905d67b0e6756564ef841f)
![{\displaystyle {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490fd6ef1aa498c5ab816f104a66d7c40d1fc9a9)
![{\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc32c13b9817c7514566f276074944fc30b6d75)
![{\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70502bbb63f75bb844f05cb8d1a99c37c783967a)
![{\displaystyle {\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea06fd432770875659c5e79f23501ddea3ad32e)