Границя

Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.

Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Границя послідовності

Стале число $a$ називають границею послідовності $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, якщо для кожного додатного числа $\varepsilon$, скільки б малим воно не було, існує такий номер $N$, що всі значення $x_{n}$, в яких номер $n>N$, задовольняють нерівність

$|x_{n}-a|<\varepsilon$

Той факт, що $a$ є границею послідовності, позначають так: $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$ або просто $\lim x=a$ чи $x_{n}\rightarrow a,n\rightarrow \infty$. Номер $N$ залежить від вибору числа $\varepsilon$. При зменшенні $\varepsilon$ число $N$ буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени $x_{n}$ послідовності до $a$ вимагати, тим більші значення їх індексів.

Границя функції

c

Для всіх x > S, f(x) перебуває в межах ε із L.

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, причому $A\neq \emptyset$, і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. У подальшому будемо розглядати функції $f:\,A\to \mathbb {R}$.

Означення за Коші

Число $a$ називається границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для кожного додатного числа $\varepsilon$ існує додатне число $\delta$ таке, що для довільного $x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\setminus \{x_{0}\}$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\varepsilon .$

Позначення:

$a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$

або

$f(x)\to a$ при $x\to x_{0}$.

Під $\varepsilon$ і $\delta$ можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка $\varepsilon$ обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані $\delta$ до граничної точки.

Означення за Гейне

Число $p$ називається границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, $x_{n}\neq x_{0}$ при $n\in \mathbb {N}$, що збігається до числа $x_{0}$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Наприклад,

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$.

Як видно f(1) не визначено, але коли x наближається до 1, то f(x) відповідно наближається до 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	не визначено	2.001	2.010	2.100

Таким чином, f(x) можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.$

Це також можна обчислити алгебраїчно як ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ для всіх дійсних чисел x ≠ 1.

Оскільки ${\textstyle x+1}$ визначене при ${\textstyle x=1}$, то можна підставити 1 замість x, що приведе до рівності

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.$

На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію

$f(x)={\frac {2x-1}{x}}$,

для якої

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

Коли x стає надзвичайно великим, значення f(x) наближається до 2, а значення f(x) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f(x) при x, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.$

Обчислюваність границі

Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, модуль збіжності яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності гранична лема показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.

Див. також

• Границя функції в точці
  • Одностороння границя: будь-яка з двох границь функції дійсної змінної x, коли x прямує до точки зліва або справа
  • Список границь: список границь поширених функцій
  • Стискна теорема: знаходить границю функції шляхом порівняння її з двома іншими функціями
• Верхня і нижня границі
• Швидкість збіжності
• Асимптотичний аналіз: метод опису граничної поведінки
  • Нотація Ландау: використовується для опису граничної поведінки функції, коли аргумент прямує до певного значення або нескінченності
• Фундаментальна послідовність
  • Повний метричний простір
• Рівномірна збіжність
• Збіжність майже всюди
• Збіжність за мірою
• Збіжність випадкових величин
• Границя в теорії категорій
  • Індуктивна границя
  • Проєктивна границя
• Межа (значення)

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)