Принцип найменшої дії

При́нцип найме́ншої ді́ї, у фізиці — стверджує, що з усіх можливих шляхів системи у конфігураційному просторі реалізується той, який відповідає мінімальному значенню дії.

Принцип найменшої дії є універсальним фізичним законом і використовується для виведення рівнянь руху.

Формулювання Гамільтона

У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принцип Гамільтона — Остроградського, дія дорівнює

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)dt$,

де ${\mathcal {L}}$ — функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу $t_{2}$.

Формулювання Мопертюї

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії ${\mathcal {E}}$ використовують функцію Лагранжа:

${\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {E}}$,

де $\mathbf {q}$ є узагальнені координати a $\mathbf {p}$ є узагальнені імпульси.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}\mathrm {d} t-{\mathcal {E}}(t_{2}-t_{1})=\mathbf {S} _{0}-{\mathcal {E}}(t_{2}-t_{1})$

де $\mathbf {S} _{0}$ означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії ${\mathcal {S}}$ дає:

$\delta {\mathcal {S}}=\delta {\mathcal {S}}_{0}-{\mathcal {E}}(\delta t_{2}-\delta t_{1})$

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

$\delta {\mathcal {S}}=-{\mathcal {E}}(\delta t_{2}-\delta t_{1})$

тому варіація редукованої дії буде:

$\delta {\mathcal {S}}_{0}=\delta \int _{k}\mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} =0$,

де $k$ є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретного шляху $s$, тобто $\mathbf {q} =\mathbf {q} (s)$, тому узагальнений імпульс можна переписати як:

$\mathbf {p} =\mathbf {p} \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}},\mathbf {q} \right)=\mathbf {p} \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}},\mathbf {q} \right)$

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

$H\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }}\right)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathbf {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)={\mathcal {E}}$

Оскільки швидкість переміщення по шляху ${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}$ є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

$\delta \int {\mathcal {F}}\left(\mathbf {q} ,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} s}},{\mathcal {E}}\right)\mathrm {d} s=0$

Таким чином, траєкторія руху системи $\mathbf {q} (s)$ залежить від повної енергії ${\mathcal {E}}$. Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа ${\mathcal {L}}=a_{ij}\left(q^{k}\right){\dot {q}}^{i}{\dot {q}}^{j}-V(q^{k})$, тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

${\mathcal {F}}={\sqrt {2({\mathcal {E}}-V)a_{ik}{\frac {\mathrm {d} q^{i}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} q^{k}}{\mathrm {d} s}}}}$

де $V$ i $a_{ik}$ залежні від $q^{j}$.

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:

${\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{tot}-V(\mathbf {q} )}}$

оскільки кінетична енергія $T=E_{tot}-V(\mathbf {q} )$ рівна постійній повній енергії $E_{tot}$ мінус потенціальній енергії $V(\mathbf {q} )$.

Дія дорівнює

$W=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\sum _{j}p_{j}dq_{j}$.

Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору $q_{1}$ і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору $q_{2}$ незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.

Варіація

Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.

Робиться це таким чином.

Спочатку розглядається довільна траєкторія $q_{i}(t)$. Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії $\delta q_{i}(t)$, таке, щоб $\delta q_{i}(t_{1})=\delta q_{i}(t_{2})=0$. Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.

$\delta S=\int _{t1}^{t2}{\mathcal {L}}(q_{i}+\delta {q}_{i},{\dot {q}}_{i}+\delta {\dot {q}}_{i},t)dt-\int _{t1}^{t2}{\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)dt$.

Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.

Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.

Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$,

справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.

Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандартним методом виведення диференційних рівнянь з інтегральних законів.

Див. також

• Принцип Ферма
• Варіаційне числення
• Рекомбінація

Джерела

• Принцип Гамільтона-Остроградського в електромеханічних системах: [монографія] / А. Чабан; Політехніка Ченстоховська, Нац. ун-т «Львів. політехніка», Львів. нац. аграр. ун-т. — Львів: Вид-во Т. Сороки, 2015. — 463 c. — Бібліогр.: с. 450—455.
• W. R. Hamilton, «On a General Method in Dynamics.», Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308 [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.]; Part II (1835) p. 95—144 [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.]. (From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805—1865): Mathematical Papers [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.] edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as On a General Method in Dynamics [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.])