Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Розглянемо інтегральне рівняння :
f
(
s
)
+
λ
∫
a
b
K
(
s
,
t
)
φ
(
t
)
d
t
=
φ
(
s
)
.
(
∗
)
{\displaystyle f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)}
Резольвентою інтегрального рівняння , або його розв'язним ядром називають таку функцію
Γ
(
s
,
t
,
λ
)
{\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )}
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
λ
{\displaystyle \lambda }
u
∗
(
s
)
=
f
(
s
)
+
λ
∫
a
b
Γ
(
s
,
t
,
λ
)
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.}
При цьому
λ
{\displaystyle \lambda }
власним числом рівняння (*).
Нехай рівняння (*) має ядро
K
(
s
,
t
)
=
s
+
t
{\displaystyle K(s,\;t)=s+t}
φ
(
s
)
+
λ
∫
a
b
(
s
+
t
)
φ
(
t
)
d
t
=
f
(
s
)
.
{\displaystyle \varphi (s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).}
Тоді його резольвентою є функція
Γ
(
s
,
t
,
λ
)
=
s
+
t
−
λ
(
s
+
t
2
−
s
t
−
1
3
)
1
−
λ
−
λ
2
12
.
{\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t-\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}-st-{\dfrac {1}{3}}\right)}{1-\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.}
Нехай
A
{\displaystyle A}
лінійний оператор . Тоді його резольвентою називають операторнозначну функцію[ 1]
R
(
z
)
=
(
A
−
z
E
)
−
1
{\displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1}}
де
E
{\displaystyle E}
тотожний оператор , а
z
{\displaystyle z}
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
обмеженим оператором .
Це поняття використовується для розв'язування неоднорідного рівняння Фредгольма другого роду .
↑ Операторнозначна функція — функція, значенням якої є оператор.
