Тензор механічних напружень , тензор другого порядку. Компоненти тензора у тривимірній Декартовій системі координат утворюють матрицю
σ
=
[
T
(
e
1
)
T
(
e
2
)
T
(
e
3
)
]
=
[
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
e 1 , e 2 , і e 3 .Те́нзор (від лат. tendere , «тягнутись, простиратися») — математичний об'єкт , що узагальнює такі поняття як скаляр , вектор , ковектор , лінійний оператор і білінійна форма . Вивченням тензорів займається тензорне числення .
В деякому базисі тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці
d
×
d
×
⋯
×
d
{\displaystyle d\times d\times \cdots \times d}
компонентами тензора ). При заміні базису компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору базису.
Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V * (тобто просторів лінійних функціоналів (1-форм ) на V )
τ
∈
T
n
m
(
V
)
=
V
⊗
⋯
⊗
V
⏟
⊗
V
∗
⊗
⋯
⊗
V
∗
⏟
m
n
{\displaystyle {\begin{matrix}\tau \in T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}}
Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m разів контраваріантним та n разів коваріантним .
Основною властивістю, і фактично означенням, тензора
T
i
j
⋯
k
l
⋯
{\displaystyle T_{ij\cdots }^{kl\cdots }}
(
1
)
T
^
i
j
⋯
k
l
⋯
=
α
k
1
k
α
l
1
l
⋯
β
i
i
1
β
j
j
1
⋯
T
i
1
j
1
⋯
k
1
l
1
⋯
{\displaystyle (1)\qquad {\hat {T}}_{ij\cdots }^{kl\cdots }=\alpha _{k_{1}}^{k}\alpha _{l_{1}}^{l}\cdots \beta _{i}^{i_{1}}\beta _{j}^{j_{1}}\cdots T_{i_{1}j_{1}\cdots }^{k_{1}l_{1}\cdots }}
де (взаємно обернені) матриці переходу
α
j
i
,
β
j
i
{\displaystyle \alpha _{j}^{i},\;\beta _{j}^{i}}
частковими похідними функцій, що задають нові координати відносно старих та навпаки:
(
2
)
α
j
i
=
∂
x
^
i
∂
x
j
,
β
j
i
=
∂
x
i
∂
x
^
j
{\displaystyle (2)\qquad \alpha _{j}^{i}={\partial {\hat {x}}^{i} \over \partial x^{j}},\qquad \beta _{j}^{i}={\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}}
Тензор рангу (0,0) є скаляр ;
Тензор рангу (1,0) є вектор ;
Тензор рангу (0,1) є ковектор (коваріантний вектор), тобто елемент простору V *;
Тензор рангу (0,2) є білінійна форма ;
Тензор рангу (1,1) є лінійний оператор .
Форма об'єму на
n
{\displaystyle n}
(
0
,
n
)
{\displaystyle (0,n)}
n
{\displaystyle n}
Тензор кривини
R
j
k
l
i
{\displaystyle R_{\ jkl}^{i}}
(
1
,
3
)
{\displaystyle (1,3)}
тензор Річчі
R
i
j
{\displaystyle R_{ij}}
скалярна кривина
R
=
R
i
j
g
i
j
{\displaystyle R=R_{ij}g^{ij}}
(
0
,
2
)
{\displaystyle (0,2)}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
Символ Леві-Чивіти — тензор 3-го рангу
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
Тензори допускають такі унарні операції:
Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.і такі бінарні операції :
Додавання тензорів однакової валентності та складу індексів — виконується покомпонентно;
Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n') , тобто якщо
σ
∈
T
n
m
{\displaystyle \sigma \in T_{n}^{m}}
τ
∈
T
n
′
m
′
{\displaystyle \tau \in T_{n'}^{m'}}
σ
⊗
τ
∈
T
n
+
n
′
m
+
m
′
=
T
n
m
⊗
T
n
′
m
′
{\displaystyle \sigma \otimes \tau \in T_{n+n'}^{m+m'}=T_{n}^{m}\otimes T_{n'}^{m'}}
Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію
α
(
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle \ \alpha (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}
v
i
∈
V
{\displaystyle v_{i}\in V}
v
i
{\displaystyle \ v_{i}}
α
(
v
1
,
…
,
c
v
i
,
…
,
v
n
)
=
c
⋅
α
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
)
,
{\displaystyle \ \alpha (v_{1},\dots ,cv_{i},\dots ,v_{n})=c\cdot \alpha (v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}
α
(
v
1
,
…
,
v
i
+
v
i
′
,
…
,
v
n
)
=
α
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
)
+
α
(
v
1
,
…
,
v
i
′
,
…
,
v
n
)
.
{\displaystyle \ \alpha (v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{n})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n})+\alpha (v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n}).}
Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m) , але в цьому випадку треба розглядати функцію
α
(
w
1
,
w
2
,
…
,
w
n
,
v
1
,
v
2
,
…
,
v
m
)
,
{\displaystyle \ \alpha (w^{1},w^{2},\dots ,w^{n},v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}),}
де
w
i
∈
V
∗
,
v
i
∈
V
.
{\displaystyle w^{i}\in V^{*},\;\;v_{i}\in V.}
Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення
e
i
∈
V
,
i
=
1...
,
d
i
m
(
V
)
{\displaystyle e_{i}\in V,\ i=1...,dim(V)}
τ
j
1
,
j
2
,
…
,
j
n
i
1
,
i
2
,
…
,
i
m
=
τ
(
e
j
1
,
e
j
2
,
…
,
e
j
n
,
e
i
1
,
e
i
2
,
…
,
e
i
m
)
{\displaystyle {\tau _{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}=\tau (e^{j_{1}},e^{j_{2}},\dots ,e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},\dots ,e_{i_{m}})}
1
≤
i
a
,
j
b
≤
d
{\displaystyle 1\leq i_{a},\ j_{b}\leq d}
де
e
j
∈
V
∗
,
j
=
1...
,
d
{\displaystyle e^{j}\in V^{*},\ j=1...,d}
V
∗
{\displaystyle V^{*}\!}
e
i
{\displaystyle e_{i}\!}
e
j
e
i
=
δ
i
j
{\displaystyle e^{j}e_{i}=\delta _{i}^{j}}
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{i}^{j}}
символ Кронекера ).
Індекси, що відносяться до просторів
V
∗
{\displaystyle V^{*}\!}
V
{\displaystyle V\!}
В різного роду застосуваннях часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.
Симетричним за двома ко-(контра-)варіантними індексами називається тензор, який задовольняє такій вимозі:
T
(
e
j
1
,
e
j
2
_
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
1
,
e
i
2
,
.
.
.
,
e
i
m
)
=
T
(
e
j
2
,
e
j
1
_
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
1
,
e
i
2
,
.
.
.
,
e
i
m
)
{\displaystyle T({\underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})=T({\underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})}
(
T
(
e
j
1
,
e
j
2
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
1
,
e
i
2
_
,
.
.
.
,
e
i
m
)
=
T
(
e
j
1
,
e
j
2
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
2
,
e
i
1
_
,
.
.
.
,
e
i
m
)
)
{\displaystyle (T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},...,e_{i_{m}})=T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},...,e_{i_{m}}))}
T
j
1
,
j
2
_
,
.
.
.
,
j
n
i
1
,
i
2
.
.
.
,
i
m
=
T
j
2
,
j
1
_
,
.
.
.
,
j
n
i
1
,
i
2
.
.
.
,
i
m
,
{\displaystyle {T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}}={T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}},}
∀
j
1
,
j
2
=
1
,
2...
,
(
d
i
m
(
V
)
=
d
i
m
(
V
∗
)
)
{\displaystyle \quad \forall j_{1},\ j_{2}=1,2...,(dim(V)=dim(V^{*}))}
(
T
j
1
,
j
2
.
.
.
,
j
n
i
1
,
i
2
_
,
.
.
.
,
i
m
=
T
j
1
,
j
2
.
.
.
,
j
n
i
2
,
i
1
_
,
.
.
.
,
i
m
,
{\displaystyle ({T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},...,i_{m}}={T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},...,i_{m}},}
∀
i
1
,
i
2
=
1
,
2...
,
(
d
i
m
(
V
)
=
d
i
m
(
V
∗
)
)
)
{\displaystyle \quad \forall i_{1},\ i_{2}=1,2...,(dim(V)=dim(V^{*})))}
Аналогічно визначається коса симетрія (або антисиметричність ):
T
(
e
j
1
,
e
j
2
_
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
1
,
e
i
2
,
.
.
.
,
e
i
m
)
=
−
T
(
e
j
2
,
e
j
1
_
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
1
,
e
i
2
,
.
.
.
,
e
i
m
)
{\displaystyle T({\underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})=-T({\underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},...e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{m}})}
(
T
(
e
j
1
,
e
j
2
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
1
,
e
i
2
_
,
.
.
.
,
e
i
m
)
=
−
T
(
e
j
1
,
e
j
2
,
.
.
.
e
j
n
,
e
i
2
,
e
i
1
_
,
.
.
.
,
e
i
m
)
)
{\displaystyle (T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},...,e_{i_{m}})=-T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},...e^{j_{n}},{\underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},...,e_{i_{m}}))}
або в компонентах
T
j
1
,
j
2
_
,
.
.
.
,
j
n
i
1
,
i
2
.
.
.
,
i
m
=
−
T
j
2
,
j
1
_
,
.
.
.
,
j
n
i
1
,
i
2
.
.
.
,
i
m
,
{\displaystyle {T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}}=-{T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},...,j_{n}}}^{i_{1},i_{2}...,i_{m}},}
∀
j
1
,
j
2
=
1
,
2...
,
(
dim
(
V
)
=
dim
(
V
∗
)
)
{\displaystyle \quad \forall j_{1},\ j_{2}=1,2...,(\dim(V)=\dim(V^{*}))}
(
T
j
1
,
j
2
.
.
.
,
j
n
i
1
,
i
2
_
,
.
.
.
,
i
m
=
−
T
j
1
,
j
2
.
.
.
,
j
n
i
2
,
i
1
_
,
.
.
.
,
i
m
,
{\displaystyle ({T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},...,i_{m}}=-{T_{j_{1},j_{2}...,j_{n}}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},...,i_{m}},}
∀
i
1
,
i
2
=
1
,
2...
,
(
dim
(
V
)
=
dim
(
V
∗
)
)
)
{\displaystyle \quad \forall i_{1},\ i_{2}=1,2...,(\dim(V)=\dim(V^{*})))}
Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати й індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може стосуватися тільки індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.
Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більше ніж двох індексів. При цьому за будь-якої перестановки індексів, за якими тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії за індексами знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.
