热传(heat transfer)有三种方式:
- 热传导(heat conduction):一个分子向另一个分子传递振动能,使热能从高温向低温部分转移。各种材料的热传导性能不同,传导性能好的,如金属,还包括了自由电子的移动,所以传热速度快,可以做热交换器材料;传导性能不好的,如石棉,可以做热绝缘材料。
- 熱對流(heat convection):是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移,冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。不同的温度导致引起系统的密度差是造成对流的原因。对流传导因为牵扯到动力过程,所以比直接传导迅速。
- 熱輻射(heat radiation):是直接通过電磁波辐射向外发散热量,传导速度取决于热源的绝对温度,温度越高,辐射越强。
根据传热的方式和工艺要求,设计热交换器,几乎各种化学工业都有热交换过程,需要各种热交换器。
热传递以其所有模式(即传导,对流和辐射)发生,一般运输方程的微分形式如下:[1]
|
(1)
|
可以通过有限差分法(FDM),有限体积法(FVM)和有限元素法(FEM)获得上述方程的数值解。为了进行传热分析,将等式(1)中的标量函数ф替换为温度(T),将扩散系数Γ替换为导热系数k和源项
由发热项e或任何热辐射源代替
或两者兼而有之(取决于可用来源的性质),并且针对不同情况存在不同形式的方程式。为了简单和容易理解,仅讨论了一维情况。
可以通过以下两种方式对物體进行传热分析
- 稳态热分析
- 瞬态热分析
稳态热分析包括以下类型的控制微分方程。
情况1 :一般稳态导热方程。
在这种情况下,控制微分方程(1)变为:
![{\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3685d602eba40c1f0cef203353e6d7adceb38daa)
情况2 :稳态热传导方程(不產生热量)
在这种情况下,控制方程(1)变为:
![{\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cee1578dd7643d63dff36139686ba096c00cf0)
情况3 :稳态热传导方程(不产生热,不对流)
在这种情况下,控制微分方程(GDE)(1)变为:
![{\displaystyle {div\,(k\,grad\,T)}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6a57ba711795ddf3cbd1a5355e83d7a50da4f1)
瞬态热分析包括以下类型的控制微分方程。
情况1 :瞬态热传导
在这种情况下,控制微分方程(1)变为:
![{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7e59ff8caa76d57ac9219a417ea868cdd181f9)
情况2 :瞬态热传导(不发热)
在这种情况下,控制微分方程(GDE)(1)变为:
![{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b21719d3a99bdd5ce7eee73d4422fa40544987)
情况3 :瞬态热传导(不产生热也没有对流)
在这种情况下,控制微分方程(GDE)(1)变为:
![{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}={div\,(k\,grad\,T)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8968771aadd59187bea0293d19295cd743eacbeb)
考虑某物體厚度为L,发热为e,导热系数为k。將物體细分为M个相等的厚度区域
= x / T沿x方向,距一定間格分割為各節點,如图2所示。
图2:平面壁一维传导有限差分公式的节点和体积单元
如图所示,x方向上的整个墙区域按元素划分,所有内部元素的大小相同,而外部元素的大小为一半。
现在,要获得内部节点的有限差分解,请考虑由节点m表示的元素,该元素被相邻节点m-1和m + 1包围。 有限差分技术假定墙壁中的温度线性变化(如图3所示)。
有限差分解决方案是(对于除0和最后一个节点之外的所有内部节点):
![{\displaystyle {\frac {(T_{m-1}^{i}-2T_{m}^{n}+T_{m}^{i})}{\Delta {x}^{2}}}+{\frac {e}{k}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb8c1cae51b3e00af6ed9c9d67035d2603f7b22)
图3:有限差分公式中的线性温度变化
上式仅对内部节点有效。为了获得外部节点的解决方案,我们必须应用如下边界条件(如适用)。[2]
边界绝缘时(q = 0)
![{\displaystyle hA{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3f30da7f553ca68962d960c60a4bc2044419eb)
![{\displaystyle \epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9debb4175a88b7ce3571f7288d42e43f127102a7)
![{\displaystyle hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6727c903583dd137491925052201a5cebe7dc476)
如图4所示,或当将辐射和对流传热系数组合时,上式如下:
![{\displaystyle hA_{combined}{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fb33e70336213f7ef4c5e4cdbc690009113dd8)
图4:平面壁左边界上对流和辐射相结合的有限差分公式的示意图
![{\displaystyle q_{0}A+hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed29a9b805caaeef98785c1c8e9053834dfb417)
在非均質物體,如複合壁中,具有不同热物理特性的不同物質緊密接合在一起。假定两种不同的固体介质A和B完全接触,因此在节点m的界面处具有相同的温度(如图5所示)。
![{\displaystyle k_{A}A{\frac {(T_{m-1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+k_{B}A{\frac {(T_{m+1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{A,m}}{2}}A\Delta {x}+{\frac {e_{B,m}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3dc852096aa9f926ad2de9d122f80a9f36d03e0)
图5:两种具有完美热接触的介质A和B的界面边界条件的有限差分示意图
在上式中,
=表示指定的热通量在
,
h =對流系数,
=對流和辐射的總純熱系数,
=周圍表面的温度,
=環境温度,
=初始節點的溫度。
到
之間的熱流關係,也可適用於
到
之間;將
到
之間的熱流串聯,便能得經過該複合牆面,從室外到室內的熱流。
瞬态热分析比稳定热分析更重要,因为该分析包括随时间变化的环境条件。在瞬态热传导中,温度随时间和位置而变化。如图6所示,瞬态热传导的有限差分法解除了空间離散以外,还需要时间步階离散。
图6:有限差分随时间变化的问题涉及时间以及空间上的离散点
如图7所示,存在平面壁中一维传导有限差分法瞬态公式的节点和体积元素。
图7:平面壁一维瞬态有限差分公式的节点和体积元素
对于这种情况,方程式(1)的有限差分显式解如下:
![{\displaystyle kA{\frac {(T_{m-1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+kA{\frac {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+{e_{m}}A\Delta {x}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{m}^{i+1}-T_{m}^{i})}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc9f43d3ecd125d8b888cf62bc910adf018da28)
上面的方程可以针对温度明确求解
给
![{\displaystyle {T_{m}^{i+1}}=\tau {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}+{(1-2\tau )}T_{m}^{i}+\tau {\frac {(e_{m}\Delta {x}^{2})}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b375f892b93733ffe69ad29d014c07377d6956a5)
此處,
![{\displaystyle \tau ={\frac {(\alpha \Delta t)}{\Delta x^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a410f6c0da720545c5ba78c44cba75cbbb7bb5)
和
![{\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33253d1236d0cc73949c28d42df6567192579f6a)
这里,
代表细胞傅立叶号,
代表热扩散率
代表恒压下的比热,
代表时间步长,
代表空间步长。
上面的等式对所有内部节点均有效,并找到第一个和最后一个节点的关系,应用边界条件(如适用),如稳态传热中所述。对于对流和辐射边界,如照射物體的太陽辐射
,單位為
,反照率常数K已知,与温度的关系如下:
![{\displaystyle hA{(T_{\infty }^{i}-T_{0}^{i})}+\kappa Aq_{solar}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{1}^{i}-T_{0}^{i})}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a113b99a24bf0350bdb13b4dd78ed959b03af281)
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