高斯符號

高斯符號是一个数学符号，形式为方括号[x]，表示不大於（等于或小于）数x的最大整數，即x-1＜[x]≤x。

高斯符號首次出現是在高斯的數學巨著《算术研究》。

运算示例：[3.14159]=3，[2]=2，[-2.5]=-3。

在计算机科学中，高斯符號常表示为INT()函数。

后来肯尼斯·艾佛森在1962年時於其著作《A Programming Language》中把高斯符号称作取底符号（$\lfloor x\rfloor$，floor），并同时引进取顶符号（$\lceil x\rceil$，ceil）(用以表示不小於x的整數中最小的一個)。之后大家就普遍使用取底、取顶这种说法了。

高斯符號的一些性质

• $\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$

当且仅当x是整数时，左面的等号成立。

• 对于所有实数x，有：

$\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor ={\frac {1}{4}}((-1)^{\lfloor x\rfloor }-1+2\lfloor x\rfloor )$

$\left\lfloor {\frac {x}{3}}\right\rfloor ={\frac {-2}{\sqrt {3}}}\sin({\frac {2\pi }{3}}\lfloor x\rfloor +{\frac {\pi }{3}})+1$

• 当n为正整数时，有：

$\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ={\frac {x-x(rem~n)}{n}}$

• 当x和n是正数时，有：

$\left\lfloor {\frac {n}{x}}\right\rfloor \geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}$

• 对于任何整数k和任何实数x，有：

$\lfloor {k+x}\rfloor =k+\lfloor x\rfloor .$

• 如果x是实数，n是整数，我们有$n\leq x$ 当且仅当 $n\leq \lfloor x\rfloor$。
• 利用高斯符號，可以产生许多素数公式（但没有实际用途）。
• 对于非整数的实数x，高斯函数具有以下的傅里叶级数展开式：

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.$

• 如果m和n是互素的正整数，那么：

$\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2$

参见

• 取整函数