在数学分析中,均值定理(英语:Mean value theorem)大致是讲,给定平面上固定两端点的可微曲线,则这曲线在这两端点间至少有一点,在这点该曲线的切线的斜率等于两端点连结起来的直线的斜率。[注 1]
更仔细点讲,假设函数 在闭区间 连续且在开区间 可微,则存在一点,使得
- .
中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。
微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,内容粗略的说是指平面上一段固定端点的可微曲线,两端点之中必然有一点,它的斜率与连接两端点的直线斜率相同(严格的数学表达参见下文)。
当提到均值定理时在没有特别说明下一般指拉格朗日均值定理。
如果函数满足
- 在闭区间上连续;
- 在开区间内可导;
- 在区间端点处的函数值相等,即,
那么在内至少有一点,使得。这个定理称为罗尔定理。
令为闭区间上的一个连续函数,且在开区间内可导,其中。那么在上存在某个使得
此定理称为拉格朗日中值定理,也简称均值定理,是罗尔中值定理的更一般的形式,同时也是柯西中值定理的特殊情形。
这个定理在可以稍微推广一点。只需假设 在 连续,且在开区间 内对任意一点 ,极限
存在,为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限,则极限等于。这版本定理应用的一个例子是函数 ,实值三次方根函数,其导数在原点趋于无穷。
注意若一个可微函数的值域是复数而不是实数,则上面这定理就未必正确。例如,对实数 定义。那么
因 时, 为开区间 中任意一点。
柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它叙述为:如果函数 f 和 g 都在闭区间[a,b] 上连续,且在开区间 (a,b) 上可微,那么存在某个 c ∈ (a,b),使得
当然,如果g(a) ≠ g(b) 且 g′(c) ≠ 0,则可表示成:
在几何上,这表示曲线
上存在一点其切线平行于由两点 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所连接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下这种切线都存在,因为可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0,所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子
在区间[−1,1]上,曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线,然而它在 t = 0处有一个驻点(实际上是一个尖点)。
柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。(拉格朗日)均值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。
积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理,它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等(严格表述在下面)。
设为一连续函数,要求是可积函数且在积分区间不变号,那么存在一点使得
- 。
在不失去一般性的条件下,设对所有,有;
因为是闭区间上的连续函数,取得最大值和最小值。于是
- 。
对不等式求积分,我们有
- 。
若,则。可取上任一点。
若不等于零那么,
- 。
因为是连续函数,根据介值定理,则必存在一点,使得
- 。
的情况按同样方法证明。
在上式中令,则可得出:
设为一连续函数,则∃,使
它也可以由拉格朗日中值定理推出:
设在上可导,,则∃,使
积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立,却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。
若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调,则存在[a,b]上的点ξ使
- ;
令g(x)=1,则原公式可化为:
- ;
进而导出:
- ;
此时易得其几何意义为:
能找到ξ∈[a,b],使得S[红]+S[蓝]=S[阴影],即S[I]=S[II]
关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号,或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数,从而使问题简化。