样本均值

样本均值是由一个或多个随机变数中得到的统计量，样本均值是一个向量，其中的每个元素都是针对随机变数取样后得到的算术平均数。若只考虑一个随机变量，则样本均值为一个纯量，是随机变数观测值的算术平均。

定义

令$x_{ij}$为第j个随机变数（j=1,...,K）在第i次观测（i=1,...,N）到的值，所有观测值可以重组为N个K ×1的向量，其中第i次观测的所有数据用$\mathbf {x} _{i}$表示（i=1,...,N）。

算术平均向量$\mathbf {\bar {x}}$的第j个元素${\bar {x}}_{j}$是第j个随机变数在N次观测值的平均值：

${\bar {x}}_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{ij},\quad j=1,\ldots ,K.$

因此算术平均向量包括所有随机变数的平均值，可以用以下方式表示：

$\mathbf {\bar {x}} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {x} _{i}.$

样本均值是随机向量$\textstyle \mathbf {X}$期望（若存在）的无偏估计，随机向量是一个列向量，其中第j个元素(j = 1, ..., K)为第j个随机变数。

样本均值因为是用所有的观测值计算而得，稍微和每次的观测值有关。若母体平均$\operatorname {E} (\mathbf {X} )$已知，其无偏估计值

$q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-\operatorname {E} (X_{j})\right)\left(x_{ik}-\operatorname {E} (X_{k})\right),$

用到母体平均，其分母为$\textstyle N$。

样本均值的方差

本节中总假定出现的均值和方差都是存在的。对于每个随机变数，样本均值是母体平均的良好估计函数，其中的良好是指有效及无偏差。当然样本均值不会是统计母体真实均值的正确值，因为从同一个分布中不同的取様会产生不同的样本均值，也就对真实均值有不同的估计。因此样本均值也是随机变数，不是常数，因此也会有其分布随机变数。针对第j个随机变数N次观测的随机取様，其样本均值分布的均值会等于母体均值$E(X_{j})$，而其变异数会等于${\frac {\sigma _{j}^{2}}{N}}$，其中$\sigma _{j}^{2}$是随机变数X_j的变异数。

评论

样本均值广为使用在统计学及相关应用中，不过也有其缺点。样本均值不是稳健统计，容易受异常点影响。在真实世界的应用中，一般会期望数据有稳健的性质，有其他方式可以计算类似样本均值的统计量，但又比样本均值要稳健，可以得到一些常见的量化统计量，例如样本众数和位置参数有关。其他的替代品包括Winsorising及修整估计量，例如Winsorized平均及修整平均。