Kvasikonformikuvaus

Kvasikonformikuvaukset ovat matematiikassa kompleksitason tai yleisemmin $n$-ulotteisen moniston kuvauksia, joita voi pitää konformikuvausten yleistyksinä. Suomalaisten matemaatikkojen panos kvasikonformikuvausten tutkimisessa on ollut merkittävä.

Kompleksitason kvasikonformikuvaukset

Tason konformikuvaus $f$ kuvaa infinitesimaalisen ympyrän infinitesimaaliselle ympyrälle. Kvasikonformikuvauksen voi (hiukan epätarkasti) karaksterisoida kuvauksena, joka kuvaa infinitesimaalisen ympyrän infinitesimaaliselle ellipsille, jonka iso- ja pikkuakselien pituuksien suhde on rajoitettu. Suhteen pienin yläraja on kuvauksen maksimidilataatio.

Jos kuvaus $f$ on pisteessä $z_{0}$ differentioituva, on olemassa differentiaalikehitelmä $f(z)=f(z_{0})+a(z-z_{0})+b({\bar {z}}-{\bar {z}}_{0})+o(z-z_{0})$. Suureet $a$ ja $b$ ovat $f$:n kompleksiderivaatat pisteessä $z_{0}$; merkitään $a=f_{z}(z_{0})$ ja $b=f_{\bar {z}}(z_{0})$. Osamäärä $\mu _{f}(z_{0})={f_{\bar {z}} \over f_{z}}$ on $f$:n kompleksidilataatio. Analyyttisen funktion kompleksidilataatio on 0. Jos alueessa $G$ pätee $|\mu _{f}(z)|\leq k<1$ melkein kaikilla $z$, $f$ on kvasikonforminen alueessa $G$. Riemannin kuvauslauseen kvasikonforminen vastine on tulos, joka kertoo, että jokainen ykkösen alapuolelle rajattu funktio on (tietyin edellytyksin) jonkin kvasikonformikuvauksen kompleksidilataatio.

Kvasikonformikuvauksilla on runsaasti geometrisia ominaisuuksia, jotka ovat yleistyksiä konformikuvausten ominaisuuksista, ja joita käytetään kvasikonformisuuden karakterisointiin.

Teichmüllerin avaruus

Riemannin pinnan kvasikonformikuvaus voidaan määritellä käyttämällä hyväksi pinnan pienten osien ja tasoalueiden konformiekvivalenssia. Kahden topologisesti ekvivalentin Riemannin pinnan välille ei yleensä voi muodostaa konformikuvausta, mutta kylläkin kvasikonformikuvauksen. Tällaisen kuvauksen dilataation suuruus antaa mitan pintojen etäisyydelle, ja on pohjana ns. Teichmüllerin avaruuksille, joiden pisteet samastuvat ovat konformiekvivalentteihin Riemannin pintoihin.

$n$-ulotteisen avaruuden kvasikonformikuvaukset

$n$-ulotteisen moniston kvasikonformikuvaus määritellään yleensä tarkastelemalla, miten ns. polkuparvien moduulit muuntuvat kuvauksessa.

Historiaa

Tason kvasikonformikuvauksia tarkasteli ensimmäisenä saksalainen H. Grötsch vuonna 1928. Oswald Teichmüller esitti useita niihin liittyviä syvällisiä tuloksia 1930- ja 1940-lukujen taitteessa. Teichmüllerin esitys oli vaikeaselkoista. Lars Ahlfors tulkitsi ja selvensi vuonna 1954 Teichmüllerin tuloksia. Useampiulotteisten avaruuksien kvasikonformikuvauksia käsiteltiin ensiksi Neuvostoliitossa 1930-luvun lopulla. Olli Lehto ja K.I. Virtanen aloittivat kvasikonformikuvausten tutkimisen Helsingin yliopistossa 1958. Heidän oppilaittensa ja oppilaittensa oppilaiden, mm. Jussi Väisälän, Seppo Rickmanin, Olli Martion, Pekka Tukian, Kari Astalan ja Matti Vuorisen panos kvasikonformikuvausten teorian kehitykselle on ollut suuri.