Discussion:Espace topologique

Il faut parler de:

• clôture
• différents types de séparation
• donner des exemples
• voisinage
• compacité
• convergence
• fonctions continues

Et il faut compléter cette liste...

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Snark (discuter), le 2 février 2003.

Une autre vision. Je pense qu'il faut plutôt laisser un article simple ne traitant que des définitions et laisser les autres thèmes dans les autres articles. En revanche il faut juste introduire la notion et pointer vers l'article clé. Il manque encore les espaces topologiques quotients qui font partie de la topologie générale. Jean-Luc W 12 décembre 2005 à 22:36 (CET)

Rép. aux 2 avis précédents : tout cela est à présent fait. Anne (discuter) 6 novembre 2013 à 20:52 (CET)

Compréhension

J'ai voulu regarder l'article mais j'ai mal compris dès le début, déjà une chose n'est pas très claire je trouve dans la définition :

• Un espace topologique est un couple ($E\;$, $\mathrm {T} \;$) ou $E\;$ est ensemble et $\mathrm {T} \;$ une famille de sous-ensembles, vérifiant les axiomes suivants:

1. L'ensemble vide et $E\;$ sont des éléments de la topologie;
2. La topologie est stable par union quelconque;
3. La topologie est stable par intersection finie.

Je pense qu'il serait plus clair, et plus logique, de mettre en premier que "la famille $\mathrm {T} \;$ est appelée topologie de $E\;$", et de rajouter dans le point 1 de la définition que cela signifie donc $E\ \in \mathrm {T} \;$ et $\emptyset \in \mathrm {T} \;$ Les points deux et trois ne sont pas expliqués, je ne sais pas ce qu'est un ensemble stable, et donc ce que signifie stable par union quelconque et stable par intersection finie. Je suppose qu'un étudiant en math sup le sait, mais je trouve que c'est bien de préciser!

--Coelacanthe 10 février 2006 à 12:25 (CET)

Tu as raison sur l'allusion à la topologie qui n'était définie que quelques lignes plus loin. Je l'ai corrigé. J'ai aussi redonné la définition de la stabilité par union et intersection. Est-ce plus clair? HB 10 février 2006 à 12:52 (CET)

Oui c'est plus clair! Merci! --Coelacanthe 10 février 2006 à 14:57 (CET)

Problème de compréhension

Je lis :

• E est un element de T
• Les elements de T sont des ouverts
• la famille des fermés contient E

E est donc un ouvert et un fermé ??... pouvez vous me confirmer qu'il n'y a pas d'erreur dans l'article ?!

Non pas d'erreur un fermé est par définition un complémentaire d'ouvert et l'ensemble vide et E tout entier étant des ouverts ... Oxyde 23 avril 2006 à 11:28 (CEST)

definition

Dans la définition on précise que E et l'ensemble vide sont des éléments de la topologie. N'est-ce pas redondant avec les axiomes 2 et 3 (comme précisé dans l'article). Par contre cela mérite d'être précisé dans les propriétés.--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 20:06 (CEST)

Je ne comprends pas ta question veux tu dire

" Dans la définition on précise que E et l'ensemble vide sont des éléments de la topologie. N'est-ce pas redondant avec les axiomes 2 et 3 (comme précisé dans l'article)? "

Si oui, je ne pense pas que les remarques sur Union sur un ensemble vide ou Intersection sur un ensemble vide (des notions difficiles à saisir car participant d'une autre définition de l'union et de l'intersection que les définitions classiques) puissent servir de définition, elles ont juste été mises là pour expliquer la présence nécessaire du premier axiome. HB 13 mai 2006 à 22:23 (CEST)

ma question est mal posé, mais la réponse est celle que je désirait.Merci. Pour moi ces notions ne sont pas spécialement dure à apréender, mais je ne suis pas affirmatif (elle ne sont pas triviales)--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 22:38 (CEST)

Kuratowski definit,

dans sa "Topologie Génerale", un espace topologique E à partir des axiomes de la fermeture, application F definie dans l'ensemble P(E) des parties de E,

• F(E)= E /
• F(vide)= vide /
• F(F(p))= F(p) /
• F(p1 U p2)= F(p1) U F(p2) pour tout p de P(E) /

Remarquer que la fermeture n'est pas forcement conservée par l'intersection. Quelqu'un peut-il démontrer l'équivalence des deux définitions? Utilisateur:Pierre Canals 14 novembre 2006 à 12:58 (CET)

en effet si on procède ainsi on définit les fermés comme les parties vérifiant F(A)=A, et on peut vérifier l'équivalence avec la def d'aujourd'hui. Je ne me sens pas très motivé pour rédiger cela. C'est un exercice de manipulation qui ne me semble pas très intéressant, dans la mesure où, pour définir une topologie, il est beaucoup plus simple de définir les ouverts ou les fermés.

Kuratowski a eu le mérite de concevoir la notion générale d'espace topologique. La définition avec les ouverts ou les fermés, trouvée après coup, est à la fois plus élégante et plus facile à manipuler.

Jaclaf 4 décembre 2006 à 15:12 (CET)

Fait (les 11 et 15/9/13). Anne (discuter)

Autre ?

« texture » et « matiere », pour definir intutivement la notion de voisinage, ne me semblent pas apporter bcp d'information. Dtcube 19 juin 2006 à 14:43 (CEST)

je un éléve de bac

comment comprnedre la notion de voisinage sur l'ensemble des entiers naturels ou un ensemble de fruit ou de légume

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 41.201.169.174 (discuter), le 14 juin 2010.

intersection d'ouverts

"Il résulte de la théorie élémentaire des ensembles que toute intersection finie d'ouverts est un ouvert."

N'a-t-on pas aussi le résultat pour les intersections dénombrables (et idem pour les réunions dénombrables de fermés) --Thomas g 29 juin 2007 à 15:15 (CEST)

Non : intersection des intervalles ouverts ]-1/n,1/n[, pour n parcourant les entiers naturels >0, c'est un fermé (topologie usuelle sur R).Salle 29 juin 2007 à 15:25 (CEST)

Tout à fait, je n'avais pas assez réfléchi avant d'écrire ça, désolé...

Point

Il est écrit :

---

Un des premiers rôles de la topologie est de décrire les voisinages des points. C'est une notion-clé pour comprendre la topologie. Elle sert par exemple à la définition de continuité ou de limite en un point. Cette notion est formalisée dans l'article voisinage. Rappelons ici simplement qu'une partie de E est un voisinage d'un point si et seulement si elle contient un ouvert contenant ce point.

---

et je ne lis antérieurement aucune définition d'un point. Un point est-il un élément de E quelconque? Un élément de E utilisé dans la topologie T ( plus surement ) ?

--193.52.69.59 3 septembre 2007 à 10:35 (CEST)André

Applications

Je me demandais si l'on ne pourrait pas rajouter une partie avec des applications de la topologie. Car qqn qui ne sait pas ce qu'est une topologie ne verrait sûrement pas à quoi cela sert. Je pensais par exemple à :

• Une utilisation de connexité bien placée
• Idem pour compacité
• D'unicité de prolongement pour en déduire des théorèmes utiles
• Par exemple le TAF ou le TVI
• Le théorème de rolle (du moins je crois)
• Et tout une multitude de choses qui parlent aux néophytes et le persuaderont de l'utilité de la chose
• Voir des utilisations surprenantes utilisant des applications continues et la topologie discrète de N pour montrer de façon << bizarre >> des résultats connus

Noky (d) 19 février 2008 à 13:29 (CET)

Définition par les voisinages

Je suis bien convaincu par la définition qui en est donnée, mais je trouve plus élégants les axiomes suivants :

1. E est un voisinage de tout point

  (∀ x, E ∈ Vois(x))

...

5. Pour tout voisinage V de x, l’ensemble des y dont V est un voisinage est aussi un voisinage de x.

  (∀ x V, V ∈ Vois(x) ⇒ {y | V ∈ Vois(y)} ∈ Vois(x))

Ces deux formulations ont l’avantage de ne pas faire intervenir de quantification existentielle.

Sedrikov (d)

Je suis d'accord que c'est équivalent et que c'est plus joli. Ce serait mieux si c'était sourcé, mais on peut glisser au début de la note 1 "Reformulation de" (de toutes façon en l'état c'en est déjà une, car Bourbaki fait le malin en réunissant "E est un voisinage de tout point" et "l'intersection de deux voisinages en est un" par l'axiome sibyllin "Toute intersection finie de voisinages en est un" car il a décrété avant que l'intersection indexée par vide est E). Tant qu'à modifier, je trouve que ce serait bien de prendre le même ordre (qui est celui de Bourbaki à la malignité ci-dessus près) que dans Voisinage (mathématiques) et dans Espace uniforme . Anne (d) 2 avril 2013 à 18:40 (CEST)

Fait (et réordonné), mais seulement en note pour l'axiome 5, en laissant dans le corps du texte la formulation sourcée. Anne (discuter) 6 novembre 2013 à 11:00 (CET)

p.s. : j'ai remplacé l'écriture formelle par une loupe vers l'article détaillé.

Vrac des exemples

À la fin du paragraphe «Exemples» (actuellement 1.2), une longue liste est donnée de «classes» d'espaces topologiques:

Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques (espaces vectoriels topologiques ; espaces de Banach, de Fréchet, de Hilbert, de Hausdorff, de Kolmogorov, de Montel, de Baire ; compacts, quasi-compacts, précompacts, paracompacts, bien enchaînés, complets, connexes, simplement connexes, connexes par arcs, localement compacts, localement connexes ; groupes topologiques, anneaux topologiques, etc.).

Cette liste mélange sans le dire des propriétés purement topologiques (compacité, séparation («de Hausdorff»), connexité...) avec des propriétés découlant de structures additionnelles (espaces vectoriels, groupes, complétude...).

Ce pourrait être bien de faire un tri là-dedans, peut-être même un tableau indiquant pour chaque propriété les éventuelles structures supplémentaires qu'elle suppose. Je ne suis pas assez compétent pour ça, mais voici un début (en mettant en italiques quelques ajouts):

• propriétés purement topologiques: séparation (divers types), propriété de Baire, compacité, quasi-compacité, compacité locale, paracompacité, connexité, connexité locale, connexité simple, connexité par arcs, connexité locale par arcs, caractère métrisable;
• propriétés métriques: le fait d'être borné
• propriétés uniformes (dépendant d'une structure uniforme): complétude, complétude séquentielle, précompacité;
• topologie + structure algébrique: espaces vectoriels topologiques, espaces de Fréchet, groupes topologiques, anneaux topologiques;
• topologie + structure d'espace vectoriel + autre chose: espaces de Banach;
• ...

David Olivier (discuter) 27 octobre 2013 à 07:42 (CET)

Fait, en enlevant (pour rester lisible) quelques liens qui restent accessibles via des liens plus généraux. Anne (discuter) 28 octobre 2013 à 23:15 (CET)

Intro

Bonjour,

ce serait chouette de rendre le résumé introductif plus accessible. Je sais que le sujet est très large, et difficilement descriptible, mais je pense que l'on pourrait au moins éviter des phrases comme La topologie générale ne tente pas d'élucider la question très complexe de la « composition du continu ». Je ne me sens pas assez qualifié pour la tâche...--Roll-Morton (discuter) 16 novembre 2014 à 16:26 (CET)

Définition de la limite

Je ne comprends pas la définition donnée de la limite en un point d'une fonction entre deux espaces topologiques :

Soient E et F deux espaces topologiques, A une partie de E, f une application de A dans F, a un point de E adhérent à A et ℓ un point de F. On dit que ℓ est une limite de f au point a si pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage W de a tel que pour tout point x de W∩A, l'image f(x) appartient à V.

Exemple. Soit la fonction

$f(x)=x$ si $x\neq 0$,

$f(0)=4$

Pour autant que je sache quelque chose en mathématique, le nombre zéro est une limite de $f$ pour $x\to 0$. Mais l'image par $f$ de tout voisinage de $0$ contient 4.

Je me demande si ce n'est pas une conséquence de cette histoire de limite pointée/épointée. Si c'est le cas, ça doit être corrigé parce que ça va induire tout le monde en erreur.

Je propose la modification suivante (2 symboles ajoutés : $\neq a$)

Soient E et F deux espaces topologiques, A une partie de E, f une application de A dans F, a un point de E adhérent à A et ℓ un point de F. On dit que ℓ est une limite de f au point a si pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage W de a tel que pour tout point $x\neq a$ de W∩A, l'image f(x) appartient à V.

Laurent.Claessens (discuter) 4 février 2018 à 08:04 (CET)

Non, ta fonction n'a pas de limite en 0 (seulement une limite épointée) et il ne faut surtout pas remplacer la définition de limite par la tienne, qui est la définition de la limite épointée. Tout ça est amplement détaillé et sourcé dans l'article mis en loupe : Limite (mathématiques). Anne, 9 h 53

Ce qui est expliqué dans l'article Limite (mathématiques), et sur la page de discussion c'est que la notion de limite pointée n'a cours que dans l'enseignement en France (niveau lycée), ce qui est suffisant pour en mentionner l'existence de cette notion dans l'article se concentrant sur les fonctions de R vers R.

Mais ce n'est pas du tout suffisant pour prendre ça comme définition de limite dans le cadre d'espaces topologiques généraux.

Pour les langues que je comprends :

• wikipédia anglophone en anglais mentionne l'existence de la notion de "non deleted limit", mais ne la prend pas comme définition, et signale que c'est de loin pas la plus utilisée.
• wikipédia italianophone mentionne également l'existence (sans la prendre pour définition) de la limite pointée, et précise que quelque auteurs l'ont utilisé dans la seconde moitié du vingtième siècle.

Je demande à voir des sources secondaires prenant la limite "pointée" comme définition de limite dans le cadre topologique général.

Sinon, m'est avis que le mieux est de mettre la définition usuelle, quitte à ajouter une note pour préciser qu'il existe une notion "pointée" utilisée principalement dans l'enseignement en France. Tel quel, le texte induit en erreur. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Laurent.Claessens (discuter), le 4 février 2018 à 13:45 (CET)

Je comprends bien que ce que tu appelles « limite "pointée" » est la définition usuelle, et ce que tu appelles « définition usuelle » est la limite épointée. En revanche, je ne comprends pas pourquoi tu demandes (en gras = en criant) des refs alors que, comme déjà dit, il y en a plein dans l'article loupe, et en français, dont Deschamps&Warusfel, qui reprennent ce que dit explicitement le programme MPSI : Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$ alors $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$. Anne, 14 h 05

Ben justement, de ce qu'il ressort de la page, de la note (3) en bas de page et de la page de discussion de l'article, la notion de limite "pointée" est une notion presque exclusivement de l'enseignement français, et la définition usuelle, acceptée par la très grande majorité de la communauté mathématique est celle "épointée". Autrement dit, le seul argument présenté dans la page de discussion de limite pour parler de la limite pointée est «en France on fait comme ça».

La question est vraiment de savoir si Wikipédia francophone est censé donner des informations en français ou des informations de France. Dans le second cas, c'est évidemment les textes du ministère français qui font foi, et la définition donnée ici est la seule possible.

Par ailleurs toutes les autres langues de Wikipédia présentent la limite épointée comme définition principale. Outre l'anglophone et l'italien déjà cités, j'ajoute quelques uns dont je ne connais pas la langue, mais dont les formules sont clairement celles de la limite épointee :

• allemand
• chinois (je crois)
• espagnol
• polonais
• aucune idée

Et juste pour la route, le premier résultat de Google pour les mots-clefs "topological space, limit of a function" :[stackexchange]

La méritocratie ne me donnant pas beaucoup de points sur Wikipédia, je ne ferai pas moi-même une modification de définition sans unanimité; mais à mois qu'un autre argument que «on fait comme ça en France» ne sorte, il au minimum de poser le bandeau idoine :

Cet article doit être internationalisé.

Laurent.Claessens (discuter) 4 février 2018 à 20:48 (CET)

Erreur suspectée

Au début du § Définition par les voisinages, ne faut-il pas lire "${\mathcal {V}}$ une application de E vers l'ensemble P(E)" plutôt que "${\mathcal {V}}$ une application de E vers l'ensemble P(P(E))" ?? (le lien vers P(E) n'étant même pas nécessaire car déjà donné plus haut) --Benjamin D., 109.190.172.111 (discuter) 12 septembre 2018 à 15:14 (CEST)

Non, c'est correct en l'état. À chaque point a de E, on associe, non pas une partie de E, mais un ensemble de parties de E (autrement dit un élément de P(P(E))) : l'ensemble des voisinages de a. TorkMattar (discuter) 12 septembre 2018 à 15:20 (CEST)

Sur les dernières modifications

Bonjour Celastus, bonjour Anne. J'ai suivi votre désaccord [1], [2] car j'ai cet article en liste de suivi. Celastus, il existe une règle sur Wp qui veut que lorsque sa modification est contestée, on ne la remette pas mais on en discute en page de discussion. Concernant tes ajouts : sur la typo, il est inutile de réparer ce qui n'est pas cassé et mettre du Latex là où le code html suffit n'est pas nécessaire et est souvent mal perçu par celui qui a fait le choix inverse antérieur. Concernant ton ajout sur toutes les déclinaisons possibles entre voisinage et base de voisinage, il ne suffit pas qu'une affirmation soit juste pour être pertinente. Anne demande, à juste titre des sources qui prouvent l'importance d'insister autant sur le remplacement de voisinage par base de voisinage. Elle a raison il me semble. Si tu peux prouver que la littérature considère cela comme important, ton ajout pourra rester, sinon, il est légitime de le supprimer. Peux-tu fournir des sources ? Y a-t-il d'autres contributeurs qui approuvent cet ajout ? HB (discuter) 23 mars 2019 à 20:45 (CET)

Possibilité de remplacer librement l'ensemble des voisinages d'un point par une base de voisinage de ce même point dans la définition de la limite

Je propose d'ajouter les lignes suivantes :

Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

(i) ${\displaystyle {\mathcal {l}}}$ est une limite de f au point a

(ii) ${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {V}}(l),\exists W\in {\mathcal {V}}(a),f(A\cap V)\subseteq W}$

(iii) ${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {B}}(l),\exists W\in {\mathcal {V}}(a),f(A\cap V)\subseteq W}$

(iv) ${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {V}}(l),\exists W\in {\mathcal {B}}(a),f(A\cap V)\subseteq W}$

(v) ${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {B}}(l),\exists W\in {\mathcal {B}}(a),f(A\cap V)\subseteq W}$

Où ${\displaystyle {\mathcal {B}}(l)}$ est une base de voisinage de ${\displaystyle {\mathcal {l}}}$ dans Y et ${\displaystyle {\mathcal {B}}(a)}$ est une base de voisinages de a dans X

Elles ne sont pas triviales et ont une utilité, puisqu'il arrive régulièrement qu'on ne connaisse une topologie que par une base de ses voisinages.

Ce sont ces propriétés qui permettent de remplacer V(x) par l'ensemble des boules ouvertes centrées en x, par exemple.

--celastus (discuter) 23 mars 2019 à 20:52 (CET)

Voir la section précédente pour mon opinion sur ce quadruple ajout. Je signale que la version précédente contenait déjà cette remarque: ::(Il suffit pour cela que cette propriété soit vérifiée pour tout V d'une base de voisinages de ℓ, par exemple pour tout V ouvert contenant ℓ.)

Autant il est utile de permettre à V d'appartenir seulement à une base de voisinage, autant le fait de contraindre W à une base de voisinage me semble, comme à Anne, absolument sans intérêt. HB (discuter) 23 mars 2019 à 20:59 (CET)

N'est-ce pas ce qui permet de passer aux êta et aux epsilon dans le cas d'espaces métriques, au départ comme à l'arrivée ? Celastus (discuter) 23 mars 2019 à 21:05 (CET)

oui pour le ε mais pas pour le η (pour le η l'argument est plutôt du genre «qui peut le plus peut le moins, s'il existe un voisinage W de a vérifiant $f(A\cap W)\subseteq V$ je te laisse corriger ton erreur plus haut, il existe une boule ouverte de centre a de rayon η contenu dans W et on a bien alors |x-a| < η ==> |f(x) - l| < ε. Mais rien ne sert de discuter, le mieux est de se fier aux sources. HB (discuter) 23 mars 2019 à 21:21 (CET)

C'est pour l'équivalence que les deux assertions sont nécessaires. Pour aller dans un seul sens, en effet, une base de voisinage étant incluse dans l'ensemble des voisinages, la deuxième assertion n'est pas nécessaire. Le "qui peut le plus peut le moins" est immédiat, mais en l'occurence cela marche dans les deux sens !

J'ai trouvé une source : Ramis E., Deschamps C., Odoux J. - Cours de mathematiques speciales_ topologie. tome 3- Masson (1991), page 37 : On ne modifie pas l'assertion (I) en remplaçant V(a) (resp. V(l)) par une base de voisinages de a (resp. de l).

Cette phrase est plus élégante que l'énumération des possibilités qu'elle engendre et pourrait peut-être même mettre tout le monde d'accord ?

Bah, puisque c'est juste et sourcé, je ne vois pas d'inconvénient à le faire figurer sous une forme condensée effectivement plus élégante. Anne, cela te convient-il? HB (discuter) 23 mars 2019 à 21:42 (CET)

Je propose donc qu'on remplace la phrase "(Il suffit pour cela que cette propriété soit vérifiée pour tout V d'une base de voisinages de ℓ, par exemple pour tout V ouvert contenant ℓ.)" par la phrase : "On ne modifie pas cette définition en remplaçant l'ensemble des voisinages de a (resp. l) par une base de voisinages de a (resp. l)".

Est-ce que cela conviens à tout le monde ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Celastus (discuter), le 23 mars 2019 à 22:34.

Pas à moi : voir ma modif de 22 h 01 ici (où il vaut mieux se limiter à l'essentiel) et mon compromis de 21 h 57 dans l'article loupe (où il vaut mieux parler de L avant a, et ne pas passer sous silence la base de voisinage la plus utilisée). Anne, 22 h 44

Les deux bases de voisinage sont utilisées dans un espace est métrique, où la base choisie est l'ensemble des boules ouvertes au départ comme à l'arrivée. Je ne vois pas bien ce que ça coûte de rajouter cela (et d'insister sur l'équivalence), pourquoi parler d'une base de voisinages et pas de l'autre ?

Evidemment pour tout voisinage => pour tout voisinage d'une base, et il existe un voisinage d'une base => il existe un voisinage, mais les implications réciproques ne sont ni triviales, ni inutiles.

Serait-il possible d'avoir un autre avis ? Ces propriétés me paraissent importantes, en tant que lecteur je serais content de les voir écrites en clair. --Cantor est devenu fou (=Celastus) (discuter) 23 mars 2019 à 22:51 (CET)

Il me semble que la discussion est close puisque, comme dit ci-dessus (cf. mon compromis de 21 h 57 dans l'article loupe]), j'ai mis dans l'article loupe ce à quoi tu acceptais finalement de te limiter, et sur quoi, à ta question « Est-ce que cela conviens à tout le monde ? », HB avait répondu ok. L'article loupe est fait pour ça. Ici c'est un article général qu'il vaut mieux ne pas surcharger de ces détails. Anne, 24/03, 7 h 02

Oui, c'est parfait ! Je vois que tu as enlevé la propriété sur les voisinages dans l'article sur les espaces topologiques, ce qui incite à aller voir l'article loupe où la propriété complète est bien présente, avec la référence :) En revanche je n'aurais pas mis "caractérisation" mais "définition", bien que cela n'ait pas une grande importance.