Discussion:Espace vectoriel

Remarques

J'ai noté B en fonction des évaluations du Wikiconcours. Jean-Luc W 26 septembre 2007 à 13:33 (CEST) RahxelfonikX: Bon on va dire que c'est du détail, mais c'est peut être que je n'ai rien compris, mais un élément de E est un vecteur, il faudrait peut-être mêttre des flèches sur le u dans les définitions. De plus si quelqu'un peut mêttre les démonstrations ceci pourrait être intérressant je trouve.

Pour les flèches ce n'est pas utile, cette notation est surtout utilisée en physique lorsqu'on se place dans un espace vectoriel de dimension 1,2 ou 3 P0m 24 mars 2007 à 16:42 (CET)

Mirfax: Le mot 'champ' désigne-t-il un corps commutatif (j'insiste bien sur le commutatif)?

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Ryo: pour le "si et seulement si", oui, mais là, la phrase était construite ainsi: "telle situation n'est possible que si", donc ça donne déjà l'équivalence.

Snark

Certes, autant pour moi...

Mais ça serait pas plus clair de le formuler mathématiquement ? ^_^;;;

(ou en traduction française, du genre 'combinaison nulle implique coeff nuls')

Ryo 16:06 fév 20, 2003 (CET)

C'est vrai que cette phrase n'était pas très claire; j'ai réécrit, c'est mieux comme ça? Snark 19:13 fév 20, 2003 (CET)

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Qu'est-ce que cela donne en français ?

Tout simplement : "On peut atteindre tout point d'un espace vectoriel en combinant dans les bonnes proportions ses vecteurs unitiares de base". Mais encore ? Eh bien par exemple "on peut afficher toute couleur avec la synthèse trichrome par un bon triplet de chiffres correspondant aux valeurs de rouge, de vert et de bleu". Ou bien : "On peut définir n'importe quel point de l'espace 3D par ses coordonnées (x,y,z)".

Tous les espaces vectoriels ne sont pas de dimension finie et cette remarque en français n'est pas valable pour un espace fonctionnel par exemple.

• Peux-tu STP remettre ce paragraphe dans le corps du texte ? Une encyclopédie ne doit pas être un lieu d'étalage de pédantisme, ni chercher à concurrencer des ouvrages spécialisés en faisant moins bien, mais au contraire ouvrir l'esprit et la curiosité du lecteur. Merci. François-Dominique 24 jul 2004 à 02:13 (CEST)
  • Dans l'espace vectoriel des fonctions dérivables quels sont les vecteurs de base ? cette remarque doit figurer dans espace vectoriel de dimension finie
    • Cette remarque me paraît à l'encontre de ce que j'ai suivi en cours d'analyse et où mes professeurs insistaient sur le fait que l'infini est à considérer comme une propriété (celle de pouvoir être à volonté supérieur à toute valeur choisie) et non comme une valeur (raison pour laquelle d'ailleurs les puristes préfèrent l'expression devient infinie à "tend vers" l'infini). Cela dit, je ne suis pas contre un transfert vers espace vectoriel de dimension finie, à condition de mettre un lien dessus. La bonne démarche pédagogique consiste en effet à aller du simple au complexe, du concret à l'abstrait, et non l'inverse. François-Dominique 24 jul 2004 à 02:33 (CEST)
      • La vulgarisation ne me dérange pas; si quelqu'un me dit qu'un espace vectoriel est un ensemble qui est plutôt droit qu'en forme de patate je comprends mais ce qui me dérange c'est cette histoire de base c'est tout.
        • OK. Alors que dirais tu d'ajouter simplement en tête les mots : Dans le cas d'un espace vectoriel de dimension finie, moyennant quoi tout rentre dans l'ordre ? :o) François-Dominique 24 jul 2004 à 02:55 (CEST)

Lien avec l'article somme d'espaces vectoriels

L'article "somme d'espaces vectoriels" est inconsistant (la "définition" qui y est donnée n'a pas de sens) ; il me semble préférable de supprimer le renvoi à cet article. Vivarés 4 novembre 2005 à 22:56 (CET)

Structure algébrique additive sur G = E - {0} ?

On ne peut pas définir de loi interne additive (par restriction de l'addition de E) sur G = E - {0} puisque si u est un élément de G, alors son opposé v est aussi un élément de G, et u + v = 0. Quant à parler de monoïde, la question ne se pose même pas.Vivarés 20 février 2006 à 11:10 (CET)

Article trop long ?

Il y a beaucoup de choses à dire sur les espaces vectoriels mais du coup on a un article qui met un temps fou à charger, notamment avec tout le TeX présent. Je suggère la création de "sous-articles" pour décentraliser et alléger cette page. On pourrait faire sous-espace vectoriel, espace vectoriel de dimension finie, mais aussi transférer tout ce qui concerne les familles et les bases dans les articles idoines qui existent déjà. Au final, on aurait un article traitant uniquement de la définition d'un espace vectoriel et quelques exemples, et d'autres articles sur les sujets plus précis. PieRRoMaN ¤ Λογος 20 février 2006 à 16:41 (CET)

ça dépend du point de vue, on peut apprécier trouver un cours en entier sans avoir à jongler aver les liens et perdre le fil. Mais il est vrai que l'article trop long, et part de la définition pour aboutir à des sujets très pointus comme les polynomes de Lagranges -qui n'intéressent peut-être pas celui qui ne comprend pas ce qu'est un espace vectoriel.Vhailor

ne faudrait-il pas "alléger" la définition en en disant simplement que (E,+) est un groupe, et en revoyant à la page des groupes ? Par ailleurs, il manque une précision importante : E doit être non-vide ! Ca, je le rajoute ... Pdm

En général on ne le précise pas puisque dans les axiomes il y a l'existence d'un vecteur nul. Oxyde 24 janvier 2007 à 22:21 (CET)

Famille

définir une famille comme un ensemble, ce n'est pas traditionnel (voir des livres de deug/prepa, de logique ...), ça n'est pas cohérent avec les notations utilisées dans l'article, et ça ne fonctionne pas me semble-t-il : par exemple (u,u) est liée, mais {u,u} = {u} ? Proz 22 novembre 2006 à 21:37 (CET)

Entièrement d'accord avec Proz. Une famille d'éléments d'un ensemble E indexée par un ensemble I n'est rien d'autre qu'une application de I dans E ; et confondre cette application avec l'ensemble de ses valeurs conduit à des incohérences comme celle qui est indiquée ci-dessus. Vivarés 22 novembre 2006 à 22:09 (CET)

Tout à fait d'accord. En conséquence, j'ai remplacé le terme ensemble par « collection » qui est à ma connaissance l'un des principaux termes utilisés pour définir naïvement la notion de famille. PieRRoMaN 22 novembre 2006 à 22:26 (CET)

Je suis impressionné par ces réactions rapides. Je pense modifier l'article famille (mathématiques) en ne conservant que le sens famille indexée (c'est en suivant les pages liées que je suis arrivé sur cet article), et au passage retirer la catégorie algèbre linéaire. Suggestion (pour l'article ev) : peut-être définir d'abord dans le cas fini, puis généraliser (puisque les ev finis semblent privilégiés, par ex th. de la base incomplète non traité dans le cas général) ? Si vous suivez un peu les pages d'algèbre linéaire, toujours en regardant les pages liées, j'ai vu famille libre, famille génératrice qui eux ne traitent que le cas fini ! Proz 22 novembre 2006 à 23:21 (CET)

Idées pour développer l'article

Si cela intéresse les candidats je propose pour enrichir l'article :

• Une section histoire référencée du style Théorie de Galois ou Représentations d'un groupe fini.

• Une section applications avec :

Cas fini appliqué Mécanique newtonienne, l'Analyse en composantes principales en statistique, les codes linéaires en théorie des codes avec des espaces vectoriels sur des corps finis.

Cas fini théorique extension algébrique avec la construction à la règle et au compas d'un heptadécagone (polygone régulier à 17 cotés) en Théorie de Galois, Loi de réciprocité quadratique avec l'espace vectoriel de l'algèbre d'un groupe fini en arithmétique, l'espace tangent d'une variété différentielle en géométrie.

Cas non fini appliqué avec l'équation de la chaleur en analyse harmonique, la modélisation des orbites d'un atome d'hydrogène avec l'Équation de Schrödinger en mécanique quantique.

Cas non fini théorique Théorème de Riesz sur un Espace vectoriel normé, Théorème de Banach-Steinhaus sur un Espace de Banach et Analyse fonctionnelle (mathématiques) sur un espace de Hilbert.

Cela suppose une modification de la structure de l'article, les parties purement mathématiques devraient être dans un deuxième article du style Structure d'un espace vectoriel et traités ici de manière généraliste pour être accessible au plus grand nombre avec des titres de paragraphe comme dimension, corps d'un espace vectoriel, application linéaire, topologie.

J'y vois plusieurs intérêts : l'article touche un public plus vaste, il traite de manière plus exhaustive le sujet, chaque exemple est choisi pour pouvoir être illustré et la recherche des références est simple.

Si une telle approche vous semble intéressante, faites moi signe. Jean-Luc W 9 mai 2007 à 18:43 (CEST)

Cette approche me semble très intéressante ! Cet article me semble excessivement technique. Le lecteur λ fuirait à grandes enjambées avant d'avoir acquis la plus petite notion de ce qu'est un espace vectoriel. Alcandre (») 18 juillet 2007 à 10:25 (CEST)

Il est certainement utile de développer l'historique et ajouter une section applications. Cependant, il ne faut pas oublier que l'espace vectoriel est un objet mathématique qui mérite donc (à mon avis) un article plus technique que celui d'algèbre linéaire.--Ambigraphe 18 juillet 2007 à 21:42 (CEST)

Une proposition plus fine de plan

Voilà une première proposition de plan, dans la ligne du précédent. Il est plus détaillé et montre de graves faiblesses. Il est beaucoup trop long, un peu de bon sens montre que l'on se dirigerait vers un article de 30 à 35 pages. Si in fine, le savoir décrit par le plan doit se retrouver dans WP, il faudra délester une large partie vers d'autres articles. Cela nous condamne à ne pas respecter le troisième critère de l'article parfait mais je pense que nous n'avons pas le choix. Première action, imaginer un article algèbre linéaire pour permettre une bonne articulation.

Ebauche de plan

• Histoire 3 pages

Origines : les grecs et la géométrie, la Chine avec l'algèbre et l'islam avec les coniques ? l'Europe avec Fermat et Descartes XVIII^e siècle et l'apparition d'un système multicoordonnées

Formalisation des concepts : Gauss et le pivot, Bolzano et Moebius, Grassmann et la géométrie, Cayley et Hamilton.

Une vision moderne : Péano et la logique, Hilbert et la dimension infinie, 1918 et l'axiomatique.

• Structure d'espace vectoriel 2 pages et d'un niveau essentiellement vulgarisé et s'appuyant sur un article très proche de l'actuel espace vectoriel.

Dimension : Un invariant essentiel, les isomorphismes, les bases plus ou moins complètes

Sous-strucure : Sous-espace vectoriel, quotient et projecteurs

Géométrie : Dual, orientation, métrique et topologie

• Applications en mathématiques pures 4 pages (aie, cela ne tiendra jamais)

L'algèbre linéaire : Structure d'algèbre et applications linéaires

L'algèbre pure : Théorie des représentations groupe et algèbre, les anneaux

Analyse : la dimension finie, analyse réelle et complexe, calcul diff

Analyse fonctionnelle : La dimension infinie, Hilbert, Fourier et Banach

La géométrie différentielle : espace tangent

La topologie et les flots de Ricci

La théorie de Galois : polynôme, extension comme espace vectoriel, conséquence sur la trisection de l'angle

Arithmétique : l'anneau des polynômes comme module ?, les espaces vectoriels finis, vers les formes modulaire

• Application aux autres sciences 4 pages, aie là encore cela ne tiendra jamais.

La physique : notre univers dim 3 et 4

La physique : dimension finie : la mécanique rationnelle, les systèmes électrique ou optiques

La physique : mécanique quantique, une particule élément d'un Hilbert, opérateurs

La relativité : une géométrie différentielle, une géométrie algébrique orienté de dimension 4, n isomorphe à un compact sans frontière ?

La théorie de l'information : les espaces vectoriels fini, code correcteur et chiffre

Les statistiques et économie : les espaces vectoriels de dimensions finie AFC, optimisation linéaire, John Maynard Keynes , point fixe et équilibre concurrentiel général

• Conclusion sur le caractère universel de la structure 1/2 page

 

Jean-Luc W 21 septembre 2007 à 12:31 (CEST)

Pour la longueur je ne sais pas mais le plan m'a l'air excellent. Valvino ^(discuter) 21 septembre 2007 à 12:46 (CEST)

Merci, je suis en train d'essayer quelque chose sur mon brouillon. Jean-Luc W 26 septembre 2007 à 13:33 (CEST)

Confusion entre SEV en somme directe et SEV supplémentaires

Deux SEV peuvent être en somme directe sans être pour autant supplémentaires dans l'espace vectoriel "ambiant". Par exemple dans un espace vectoriel E de dimension supérieure ou égale à 3 (éventuellement infinie), deux droites vectorielles D, D' engendrées resp. par deux vecteurs constituant une famille libre sont en somme directe : tout élément de la somme S = D + D' (somme qui est ici un plan vectoriel) se décompose de manière unique comme la somme d'un élément de D et d'un élément de D'  ; ainsi $S=D\oplus D'\,$. Mais S ≠ E (pour raisons de dimensions) donc D et D' ne sont pas supplémentaires dans E (en revanche, elles sont supplémentaires dans S).
La bonne définition est : deux SEV de E sont supplémentaires (dans E) si leur somme S est directe et si de plus S = E. --Vivarés (d) 14 juin 2008 à 13:00 (CEST)

Vocabulaire

Je n'ai jamais vu ailleurs que sur wikipedia les néologismes "exoassociatif", "exodistributif" etc. J'ai vérifié dans plusieurs manuels : soit ces propriétés ne sont pas nommées, soit elles ont le nom usuel pour les lois internes. Je ne trouve pas très bon de promouvoir un vocabulaire d'usage très restreint (peut-être même une invention locale), et attire l'attention (inutilement me semble-t-il) sur un détail. Je propose de les éliminer en adoptant l'une ou l'autre des solutions (pas de nom, nom usuel, guillemets à la rigueur). C'est un détail mais qui peut troubler, de plus ces néologismes renvoient sur des articles au contenu d'une abstraction qui semble un peu gratuite. Proz (d) 4 novembre 2009 à 23:18 (CET)

Je confirme les réticences de Proz (d · c · b) sur cette terminologie. Voici ce que révèle l'historique :

• [1] [2] Introduction du mot exodistributif et exoabsorbant en mars 2005. Il est étonnant que depuis personne ne semble avoir discuté ce mot ici.
• [3] Introduction par la même IP de exoassaociatif.
• [4] Introduction par une (autre?) IP en février 2009 de exoneutralité.

L'historique montre que de plus gros doutes pèsent sur le mot exoneutralité. En accord avec l'usage courant, il faudrait supprimer les préfixes exo- comme le suggère Proz. Nefbor Udofix  -  Poukram! 5 novembre 2009 à 21:57 (CET)

Eh bien allons-y. J'ai gardé la distributivité, mais pas l'associativité ça parait quand même aller un peu loin. J'ai procédé à minima, en harmonisant les notations, mais je remarque que c'est plutôt plus joli dans la verion anglaise. Je déplace ci-dessous une remarque sur l'indépendance d'un axiome que j'avais simplifiée dans l'expression, mais qui vient un peu comme un cheveu sur la soupe. Faut-il la laisser dans l'article ? Proz (d) 5 novembre 2009 à 23:53 (CET)

déplacé de l'article :

La condition $\forall \,u\in E,\quad 1\cdot u=u$ est nécessaire : si on fait agir $K$ sur $K$ en posant, pour tous $\lambda \in K$ et $x\in K$, $\lambda \cdot x:=0$. Tous les axiomes sont satisfaits mais pour tout $x\in K$, $1\cdot x=0$.

Concernant cette dernière condition, Mac-Lane et Birkhoff font exactement la même remarque. Peut-être la mettre en note ?

Concernant la simplification du vocabulaire. Pleinement d'accord pour revenir à un vocabulaire plus simple mais si vous commencez à mettre en doute la légitimité du premier vocabulaire le travail va être long. C'est l'œuvre d'une IP Spécial:Contributions/194.214.213.67 ,qui a beaucoup travaillé durant 2003-2005, sur la théorie des ensembles et les lois de composition et qui est à l'origine de tout le vocabulaire technique sur correspondance et relation. J'ai eu l'occasion de discuter avec elle concernant la notion de relation n-aire et j'ai cru naïvement, à cet époque (j'étais jeune contributrice sur l'encyclopédie), que son vocabulaire était celui utilisé actuellement par les universitaires (tout change). Si ce n'est pas le cas, le travail de nettoyage sera important. Surtout qu' à la même époque, une autre IPSpécial:Contributions/80.118.33.228 , visiblement IP partagée, a utilisé le même vocabulaire et serait à regarder. HB (d) 6 novembre 2009 à 08:54 (CET)

J'avais un peu regardé, j'ai l'impression de préoccupations plus très actuelles. Il me semble clair que les choix qui sont faits (vocabulaire, principe généraux) ne sont pour le moins pas très répandus. Maintenant il y a des choses peut-être utiles dans un certain contexte ? Le problème c'est que celui-ci n'est pas donné et qu'il n'y a aucune source. Les articles les plus élaborés semblent être structure affine, espace affine. Dans un premier temps je pense apposer des bandeaux de pertinence par exemple sur des articles comme loi de composition externe (suffisamment de temps pour que l'auteur puisse réagir, donner des sources s'il en existe par ex.), de ne pas les lier, et de se contenter de loi de composition. Il faudrait au minimum renommer et réécrire en partie correspondance et relation. L'ensemble est plutôt à discuter sur la pdd de cet article. Proz (d) 7 novembre 2009 à 01:23 (CET)

Bonsoir, quel est le problème avec le mot associativité dans les axiomes d'un espace vectoriel ? Ça me semble assez naturel et logique. Liu (d) 10 novembre 2009 à 22:58 (CET)

Je ne sais pas si c'est un "problème", en réassociant, les opérations ne sont plus les mêmes (ce pourquoi quelqu'un avait inventé le néologisme ci-dessus, c'est un peu similaire pour l'une des deux distributivités). D'autre part je n'ai vu ça appelé associativité que dans un vieux bouquin de math spé de Cagnac (et qualifié je crois d'"associativité pour les scalaires"). Maintenant je n'ai pas mené une enquête en règle. Sur ce genre de truc, la seule chose qui me gênait dans la version précédente, c'était le fait d'inventer un nouveau vocabulaire. Si tu penses que c'est plus clair d'utiliser associativité, ne te gêne pas. Proz (d) 10 novembre 2009 à 23:23 (CET)

Modifications du 10 novembre

Je ne suis pas convaincu que toutes les modifications du 10 novembre améliorent l'article, et les motivations ne me convainquent pas. en particulier il n'y a rien de scandaleux à exprimer certaines propriétés de la dimension dans le cas de la dimension finie. Pourquoi faudrait-il partir forcément du plus général ? La remarque sur l'axiome du choix était plutôt plus utile dnas la formulation précédente. Proz (d) 10 novembre 2009 à 20:15 (CET)

Cette remarque fait certainement référence aux modifications dans la nuit du 9 au 10 novembre. Déjà, on ne parle pas ici du plus général (modules), mais bien des espaces vectoriels. La suppression concernait certaines propriétés (pas toutes!) énoncées sous le titre Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie faisant croire au lecteur que ces propriétés sont propres à la dimension finie. Pour certaines, c'est le cas. Pour d'autres, non. Le problème était la formulation. Note cependant que j'ai créé l'ébauche Espace vectoriel de dimension finie (d · h · j · ↵). Les articles sur l'algèbre linéaire demandent encore beaucoup de travail.

Aussi dois-je rappeler que les propriétés supprimées peuvent être récupérées depuis l'historique. Nefbor Udofix  -  Poukram! 11 novembre 2009 à 01:03 (CET)

Pas d'ambiguïté, il s'agit de certaines d'un groupe de modifications datées du 10 novembre dans l'historique, aucune n'est datée du 9. Quant au plus général il fait référence à la dimension quelconque, mais je suppose qu'en fait tu avais compris.

Donc tu aurais éliminé les propriétés qui ne sont pas propres à la dimension finie ? Prenons les propriétés en question. Tu as supprimé : Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n.

• Toute famille génératrice de E a au moins n éléments. Si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les « familles génératrices minimales »).
• Toute famille libre de E a au plus n éléments. Si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les « familles libres maximales »).
• Le théorème de la base incomplète stipule que si $\ (u_{1},\dots ,u_{p})$ est une famille libre de vecteurs de E telle que $\ p<n$ (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base puisqu'elle n'est pas maximale), alors il existe n – p vecteurs de E, qu'on peut noter $\ (u_{p+1},\dots ,u_{n})$, tels que la famille $\ (u_{1},\dots ,u_{n})$ soit une base de E.
• Tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≤ dim E.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E.

Il me semble bien que c'est majoritairement spécifique à la dimension finie (évidemment au plus, "libre maximale" etc. non, mais ça peut se rappeler ici, d'autant que ça prend un sens différent).

Tu as laissé :

• Si F₁ et F₂ sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors

$\dim(F_{1}+F_{2})+\dim(F_{1}\cap F_{2})=\dim F_{1}+\dim F_{2}$.

Cette relation est connue sous le nom de formule de Grassmann.

• Tous les supplémentaires d'un sous-espace vectoriel F de E ont la même dimension, qui est appelée codimension de F dans E.

je n'ai rien contre, mais c'est vrai en dimension quelconque (ceci dit ça me semble une bonne idée de le laisser, parce que ça a un sens particulier en dimension finie)

Ailleurs (Indépendance linéaire) tu retires une remarque sur la colinéarité : "rien n'assure qu'une famille liée comportant au moins trois vecteurs contienne forcément deux vecteurs colinéaires." Ca peut se dire autrement éventuellement mais ça me semble mieux que ce que tu as laissé (où le seul exemple de dépendance linéaire est la colinéarité).

Et je peux continuer, à propos de l'existence d'une base et de l'axiome du choix, effectivement tu n'en as pas besoin si tu as une famille génératrice bien ordonnable (cas dénombrable par ex.), ce qui est plus utile que l'équivalence (résultat pas sans intérêt, mais qui comprend réellement ce que ça veut dire, dans quelle théorie par ex.) ...

Je remarque que tu as l'air de vraiment vouloir reprendre cet article et que certaines de tes modifications l'améliorent notablement (très bien pour la gométrie axiomatique, mais pas toutes, par ex. pour la définition d'ev, tu devrais te relire ...), mais tu devrais envisager que tes prédécesseurs ont pu aussi faire un travail utile (je ne parle pas pour moi, je ne suis quasiment pas intervenu sur cet article). Il était un peu sec mais pas scandaleux cet article. Proz (d) 11 novembre 2009 à 16:18 (CET)

Les propriétés des espaces de dimension finie listées par Proz sont vraiment fondamentales, j'espère qu'elles paraisseront au moins dans l'article 'ev. de dimension finie'. Liu (d) 12 novembre 2009 à 21:22 (CET)

(Elles étaient dans l'article, je n'ai fait que copier). Il me semble qu'elles ont leur place ici, la dimension finie, pour ces questions, (base en ce sens), c'est cas particulier plus qu'important. Proz (d) 13 novembre 2009 à 00:53 (CET)

Discussions sur la partie Définitions

Axiomes

Je préfère la version plus légère des axiomes (sans rappeler les quantificateurs à chaque ligne), mais il me semble utile de séparer les axiomes minimaux, ceux qu'ils suffit de vérifier, des propriétés essentielles, et de lier le nom à la propriété. Proz (d) 11 novembre 2009 à 16:18 (CET)

Je crains ne pas comprendre ta question. Il me semble que tu as déjà procédé à la modification que tu suggères, non ? Nos modifications sur cette partie concernent surtout la présentation, plus que le fond. Nefbor Udofix  -  Poukram! 11 novembre 2009 à 17:52 (CET)

Ce n'est pas une question, une approbabion partielle, et une proposition. Oui, je viens de faire la modification ne pensant pas que ça poserait problème. Mes modifications sont commentées.

Sinon, franchement je ne vois pas pourquoi invoquer les mânes des grands ancêtres en tête de section. Un conseil de lecture pour les débutants ? Mais à toi de voir (au passage dans Bourbaki les ev sont sur des corps non nécessairement commutatifs, mais je ne suggère pas de parler de ce genre de chose en début d'article). Proz (d) 11 novembre 2009 à 18:33 (CET)

Bonsoir, je trouve la section Définition très bien et beaucoup mieux que l'ancienne version (disons celle du 13/8/2009). Juste deux remarques: (1) je ne vois pas à quoi sert le laïus au début concernant la connaissance préalable des corps (qui n'est pas justifié à mon sens); (2) la terminologie des ev réels ou complexes n'est pas spécifiquement utilisée en analyse (penser aux espaces euclidiens ou hermitiens). Je propose d'enlever cette phrase ('Cette terminologie s'utilise en analyse.') ainsi que le tout début de la section. Liu (d) 11 novembre 2009 à 22:10 (CET)

1. Le lecteur est averti que la définition suppose connue la notion de corps. Est-ce un problème de rappeler ce qui est supposé connu ou pas ? Reformuler si nécessaire.

2. La phrase à laquelle tu te réfères était déjà présente dans la version du 13/8. La terminologie est effectivement utilisée en analyse mais aussi en géométrie ce qui peut être ajouté. On ne dit rien sur ce qui en est des autres domaines.

3. Pour Proz, je ne suis pas bourbakiste.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 12 novembre 2009 à 00:59 (CET)

Pour 1, je pense qu'on n'a pas besoin de connaître la théorie des corps pour comprendre les espaces vectoriels, je vais essayer de reformuler. Pour 2, la phrase ne sert à rien mais donne l'impression de limiter l'usage, je me proposer de la supprimer. Enfin, il n'y a pas de honte à être Bourbakiste :) Liu (d) 12 novembre 2009 à 21:31 (CET)

Que signifie "connaitre la théorie des corps" ? Ici, il suffit de connaitre la définition d'un corps, ou à défaut, pouvoir travailler avec des exemples faciles à manipuler : le corps des rationnels par exemple. Sommes-nous d'accord ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 12 novembre 2009 à 22:27 (CET)

Oui on est d'accord. La phrase 'dont la connaissance est indispensable' me semble un peu trop fort. Liu (d) 12 novembre 2009 à 22:36 (CET)

J'ai remplacé par un lien sur l'article "corps", en citant les réels et les complexes. N'hésitez pas à améliorer, mais ça me semble éviter l'ambiguïté (pas besoin de connaître la théorie des corps effectivement). Proz (d) 13 novembre 2009 à 00:07 (CET)

Détail : une "définition qui repose sur une structure", et qu'un "lecteur peut lire" ça n'est pas très heureux. Si la définition d'espace vectoriel parle de corps, ça me semble évident que ça suppose d'avoir défini ce qu'est un corps. Proz (d) 14 novembre 2009 à 01:15 (CET)

Discussions sur la partie Histoire

Se pose la question de savoir où placer un historique de l'algèbre linéaire. Le choix le plus logique ou le plus raisonnable me semble l'article algèbre linéaire (d · h · j · ↵), dont la plus grande partie pourrait être consacrée à l'histoire des mathématiques. L'article espace vectoriel doit donner en premier lieu une présentation du savoir actuel (très largement enseigné). La présence d'une partie historique dans cet article me semble dommageable, voire hors sujet. Les applications (section(s) absente(s)) mettront d'avantage en valeur les espaces vectoriels et leur importance tant en mathématiques qu'en physique. Mes propos ne concernent ici que l'article espace vectoriel et il serait dangereux d'en déduire des généralités.

Néanmoins, dans cette page de discussion, Jean-Luc W (d · c · b) proposait en 2006 une "ébauche de plan" selon ses propres mots. Sa proposition prévoyait de commencer par une partie Histoire de 3 pages minimum. (On peut se poser la question de la pertinence de remonter l'histoire des espaces vectoriels aux Grecs.) Je l'invite d'exposer ici les raisons de son choix, ou à revenir sur son choix s'il a changé d'avis entre temps.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 12 novembre 2009 à 22:59 (CET)

En 3 ans les gens évoluent, et leurs connaissances progressent. Je suppose que jlw avait volontairement caché dans une boîte déroulante ce que tu extrais ci-dessus (si j'ai bien vu d'où tu l'avais extrait). Une section histoire dans cet article me semble pertinente (juste sur la notion d'ev, pas sur l'algèbre linéaire), assez courte et là où elle est placée, en fin d'article. Elle est certainement améliorable. Si elle devait prendre trop d'ampleur, il faudrait songer à un autre article, ou à une section d'un autre article. Sinon, au sujet de l'article algèbre linéaire, ce n'est pas exactement le même sujet qu'ici. Il existe des introductions à l'algèbre linéaire, calcul matriciel etc., où l'on parle très tard d'espace vectoriel, anciennes comme Gantmacher (si je me souviens bien) ou Pierre Gabriel, Matrices, géométrie, algèbre linéaire [détail des éditions] (plus récent). Proz (d) 13 novembre 2009 à 00:31 (CET)

Remarque sur la définition de l'espace vectoriel

La condition "+ est commutative" n'est pas incluse dans la définition d'un espace vectoriel, mais se démontre très aisément avec les axiomes. Je la supprime donc.

Certes, mais cette condition est incluse dans la définition habituelle. Je suggère de laisser la commutativité dans la définition et d'ajouter une note comme quoi elle est redondante (résulte de la distributivité). Liu (d) 5 août 2010 à 22:35 (CEST)

Nouvelle image

La nouvelle image intitulée Hiérarchie des espaces vectoriels (sic) me semble :

1. hors sujet dans cette section et même dans cet article
2. bourrée de sous-entendus contestables :
   1. Titre étrange
   2. « Les » différents K-espaces vectoriels : il y en a bien d'autres
   3. préhilbertiens (et donc aussi espaces de Hilbert) => de dimension infinie : source ?
   4. la signification des flèches bleues n'est pas claire, et semble variable selon les flèches

Anne (d) 1 septembre 2012 à 22:09 (CEST)

Et il n'y a pas que des espaces vectoriels vectoriels réels ou complexes dans la vie ! Comme tu dis ! UL (d) 1 septembre 2012 à 23:23 (CEST)

Espace vectoriel sur un corps gauche

La modification de ce matin[5] visant à corriger une erreur présente dans l'article depuis février 2011[6] montre que personne n'a pris soin de relire avec attention les ajouts de cette époque. En particulier je crois y déceler une autre erreur : ce n'est pas u • (λμ) = (u • λ) • μ. qu'il faudrait écrire mais u • (λ*μ) = (u • λ) • μ. Je corrigerais bien de mon propre chef mais en fait je ne suis pas convaincue de la pertinence de la section à cet endroit. Cette notion d'espace vectoriel à droite n'est pas si courante et je n'ai pour ma part trouvé aucune source qui en parle. Je me demande s'il ne serait pas plus sage de bâtir l'ensemble de l'article sur le cas de l'espace vectoriel sur un corps commutatif (ce qui évitera de se poser la question de savoir s'il faut ou non ajouter le qualificatif commutatif dans les propriétés) quitte à créer une petite section sur le cas du corps gauche. Dans cette section, on pourrait évoquer le cas des espaces vectoriels à gauche et à droite (si cette distinction est pertinente et sourcée), indiquer à quelle occasion cette structure est rencontrée (je ne l'ai pour ma part jamais rencontrée, mais il existe plein de choses que j'ignore) et signaler que certaines propriétés (lesquelles?) découvertes sur les ev sur un corps K commutatif ne sont plus valables. Vos avis ? (j'espère beaucoup de matheux ayant déjà travaillé avec des ev sur des corps gauches). HB (d) 25 janvier 2013 à 08:29 (CET)

Necessité de la condition sur l'élément neutre

En 2009, Proz souhaitait faire disparaitre la remarque que la condition «pour tout u, 1.u=u» est nécessaire et ne se déduit pas des autres propriétés, avec le contrexemple sur la loi externe nulle. Je lui ai signalé que Mac Lane et Birkhoff faisaient la même remarque et exhibaient le même contrexemple, et qu'on pouvait garder la remarque en note. Cependant, Anne m'a fait remarquer que MacLane et Birkhoff exhibaient le contre-exemple dans le cadre d'un module sur un anneau et a déplacé et sourcé la remarque dans le bon article. Se pose donc la légitimité de sa présence ici.

J'hésite sur la décision : la notion d'espace vectoriel est plus connu que celle de module. La remarque sur la nécessité de la condition «pour tout u, 1.u=u», valable pour un A-module est aussi valable pour un K-module (i.e. un e.v.), sera plus lue ici que dans l'article module. Cependant, un public plus large est aussi un public qui se pose probablement moins de questions sur les axiomes d'une définition. Je laisse donc les suiveurs de l'article supprimer ou non cette note. HB (discuter) 28 janvier 2019 à 11:25 (CET)

illustrations sur applications linéaires

En novembre 2018, Stefan jaouen a voulu supprimer l'illustration des application linéaire par des droites passant par l'origine, l'exemple a été remis par Kelam qui le jugeait pertinent, Anne met en doute sa pertinence. je trouve pour ma part un peu dommage que les deux illustrations sur les applications linéaires concernent uniquement les formes linéaires. Je suis de plus troublée par l'introduction de représentations graphiques de fonctions dans le cadre d'un article d'algèbre. Dans le cadre des espaces vectoriels, le dessin illustre plus pour moi des droites vectorielles d'un plan vectoriel. D'où une confusion préjudiciable.

L'autre illustration fixe seulement l'idée qu'un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire. Pourquoi pas, mais c'est assez réducteur des propriétés sur noyau et image.

Je ne sais pas s'il est nécessaire qu'un article d'algèbre linéaire soit illustré par des exemples géométriques. Si c'est le cas, je pense pouvoir réaliser une illustration à partir des projecteurs. L'une permettant de mettre en évidence le noyau et l'image d'une projection du plan. L'autre exhibant comme application affine (lapsus) linéaire l'application p - 2q où p et q sont deux projecteurs associés et illustrer l'aspect linéaire en montrant les deux façons de construire f(u+3/2 v).

La question est donc triple

1. Quelle est l'avenir de l'illustration de le forme linéaire par des droites vectorielles?
2. Faut-il des illustrations pour la section application linéaire ?
3. Est-ce utile que je me lance dans les illustrations proposées ?

Des avis? HB (discuter) 28 janvier 2019 à 11:56 (CET)

mes avis : 1) l'illustration peut être supprimée - 2) illustrations non nécessaires - 3) inutile. HB (discuter) 28 janvier 2019 à 11:56 (CET)

1 : Je suis pour la disparition de la seconde image qui n'ajoute rien et induit des confusions entre linéaire et affine. Pour la première éventuellement en parlant seulement d'application linéaire de R dans R (le public potentiel pour une telle illustration ne sait pas ce qu'est une forme linéaire, et dans ce cadre c'est inutilement pédant), mais présenter une application linéaire par son graphe n'est pas forcément très parlant ; ça a le mérite de rattacher la notion à des connaissances élémentaires. Cette illustration particulière qui ne présente en rien l'aspect "application", me paraît en tout cas mal venu et au minimum à transformer (sinon supprimer).

2 : des illustrations me paraissent indispensables, mais par des graphes on ne va pas très loin (et ça peut induire des confusions), il me semble qu'on peut avoir des figures très simples et leurs images pour des endomorphismes du plan, éventuellement en dim 3 (des transformations comme transvections et dilatations, des projections ...)

3 : pour la première oui (pour comprendre noyau et image), pour la seconde j'avoue que ça me semble trop de détails dans un tel article, mais je n'ai peut-être pas saisi (pourquoi affine ?). Proz (discuter) 28 janvier 2019 à 15:43 (CET)

J'ai à nouveau supprimé l'illustration. L'idée est de provoquer à nouveau ce débat. Il y a, qu'on le veuille ou non, un livre de référence sur l'introduction à l'algèbre linéaire : c'est Algèbre linéaire et géométrie élémentaire de Jean Dieudonné. Dans ce livre, Dieudonné avait certainement en tête l'idée d'illustrer les applications linéaires par exemple par des applications de R² dans R² telles que (x,y)->(x-y,x+y). C'est pourquoi j'avais proposé une illustration qu'Anne Bauval a trouvée redondante puisque je l'avais également proposée dans Matrice d'une application linéaire. Pour ma part, un exposé sans illustration n'a strictement aucun intérêt. C'était aussi l'avis de Jean Dieudonné qui avait écrit son livre pour des professeurs de lycée qu'il laissait libres de proposer les illustrations qui leur sembleraient les plus pertinentes. Michèle Audin, dans son cours de géométrie, dit que les applications géométriques de l'algèbre linéaire font comprendre aux étudiantes à qui elle destine son cours de géométrie l'intérêt de ce qu'elles ont appris en 1è et en 2è année. Je ne partage pas ce point de vue et pense qu'on peut faire comprendre des notions algébriques dès leur introduction dans l'apprentissage des mathématiques, tout comme Jean Dieudonné jugeait enseignables ces notions à des lycéens ! En 2020, le débat n'est pas tranché et j'ai des collègues amusés qui s'étonnaient il y a quelques années qu' on "lise encore Algèbre linéaire et géométrie élémentaire". Je ne sais pas si nous saurons trancher ce débat ici sur wikipédia en sachant écouter les arguments de chacun mais j'ai un petit espoir, HB et HB . Cordialement, --Stefan jaouen (discuter) 8 avril 2020 à 23:05 (CEST)

 Proz :. HB (discuter) 9 avril 2020 à 09:05 (CEST)

 Stefan jaouen : pouvez-vous donner un lien sur l'illustration que vous proposiez ?  HB : je lève mes réticences pour la seconde partie du 3. Mon impression est qu'il n'y a pas tant besoin de débat que de quelqu'un s'y colle pour des illustrations pertinentes (et remplacer la seconde également). Proz (discuter) 9 avril 2020 à 14:38 (CEST)

Similitude vectorielle.

Proz, HB, voici l'illustration qui me paraîtrait bienvenue ici. --Stefan jaouen (discuter) 9 avril 2020 à 15:19 (CEST)

Deux réticences : la première est que le dessin semble illustrer davantage une transformation ponctuelle plutôt que vectorielle. La seconde est qu'elle est trop caractéristique des invariance de forme et va laisser penser que les applications vectorielles conserve les formes. Il serait plus judicieux d'utiliser une transformation du type u(x,y) -> h'(2y-x) et de dessiner des vecteurs. je peux faire sans problème si j'ai le feu vert (que je ne travaille pas pour rien). HB (discuter) 9 avril 2020 à 18:00 (CEST)

Ok pour moi, "une illustration à partir des projecteurs. L'une permettant de mettre en évidence le noyau et l'image d'une projection du plan" que tu projetais il y a un an me semble bien aussi. Proz (discuter) 9 avril 2020 à 19:56 (CEST)

Ok pour moi; HB, je suis toujours admiratif devant votre travail (:)). Proz , cdt. --Stefan jaouen (discuter) 9 avril 2020 à 20:25 (CEST)

mais il y a des images probablement plus pertinentes sur common c:Category:Linear functions notamment dans c:Category:Animations of linear mappings. HB (discuter) 10 avril 2020 à 10:11 (CEST)

J'ai regardé dans les deux liens fournis plus haut. Rien ne me convainc. Peut-être combiner une dilatation (x,y)->(x,y+x) avec une similitude. On obtient (x,y)->(-y,2x+y) qu'on pourrait appliquer à la petite usine dessinée plus haut.(--Stefan jaouen (discuter) 10 avril 2020 à 14:05 (CEST)

Attention à ne pas confondre transformation affine (cf l'image de la petite usine qui est une transformation ponctuelle) et application linéaire qui s'applique sur des vecteurs. HB (discuter) 10 avril 2020 à 14:29 (CEST)

Je n'ai pas compris votre remarque, HB. Dieudonné parle de "points" d'un espace vectoriel ; Serge Lang dans son cours élémentaire Algèbre linéaire, aussi. Cordialement, --Stefan jaouen (discuter) 11 avril 2020 à 12:07 (CEST)

Cela ne me gène pas de voir des auteurs parler de points pour un espace vectoriel. D'une part car chaque auteur est libre de son vocabulaire (Lang par exemple a une conception toute personnelle du parallélogramme) et d'autre part car tout espace vectoriel peut être vu comme un espace affine (si u et v sont deux point-vecteurs de E, le vecteur d'origne u et d'extrémité v est le vecteur v-u). En revanche, dans un article de présentation sur les espace vectoriels, je trouverais dommage de mélanger ces deux notions et de présenter une image concernant une transformation affine sur E (vu comme un espace affine), même laissant l'origine invariante, pour illustrer le concept d'application linéaire. Maintenant d'autres peuvent avoir d'autres avis. HB (discuter) 11 avril 2020 à 14:46 (CEST)

Ce n'est effectivement pas mon avis[ni celui de Lang ni celui de Dieudonné (:)) ]. J'ai construit un exemple à proposer en espérant qu'ils sera assez convaincant,HB, Proz .

application linéaire

--Stefan jaouen (discuter) 11 avril 2020 à 14:56 (CEST)

Je pense qu'il s'agit uniquement d'une question de représentation, et d'interprétation de celle-ci, le schéma proposé par Stefan Jaouen ne me gêne pas, à partir du moment où il y a une origine clairement identifiée, comme c'est le cas, et c'est assez utile effectivement de donner une représentation d'un application linéaire de R² dans R². Maintenant, c'est vrai que la somme et le produit par un scalaire se comprennent mieux avec la représentation "segment de droite orienté". Si on doit dessiner des vecteurs, pour ne pas brouiller l'image, c'est sûrement possible en utilisant une couleur bien plus claire pour ceux-ci ? On peut sinon préciser en légende comment interpréter la représentation. Détails : le signe "-" a disparu sur le schéma ; je ne parlerai pas de composition (une seule chose à la fois) ; il faudrait identifier clairement la figure d'origine et l'image de celle-ci. Enfin Stefan, pour alerter tes interlocuteurs, les citer ne suffit pas, enfin pas pour moi, tu peux utiliser  Stefan jaouen :,  HB :. Proz (discuter) 12 avril 2020 à 11:18 (CEST)

Remarque annexe : si ça vous amuse d'éditer directement du SVG (avec un éditeur texte), vous avez tout ce qu'il faut, les coordonnées dans le plan (l'axe des y est "dirigé vers le bas", contrairement à l'usage scolaire), une représentation matricielle des transformations affines du plan, et ça devient très souple pour le rendu. Le sujet s'y prête particulièrement. C'est abordable pour quelqu'un qui a l'habitude du TeX ou LaTeX, mais perte de temps assurée, surtout au début, quand même. Proz (discuter) 12 avril 2020 à 11:41 (CEST)

merci pour votre réponse,  HB :,  Proz :Si vous êtes OK, je publie : c'est vrai que j'aurais dû éviter de préciser la composée(une seule chose à la fois, c'est juste!) mais j'ai la flemme pour l'instant de tout reprendre surtout que je me suis débarrassé du fichier GEOGEBRA. Cordialement, --Stefan jaouen (discuter) 12 avril 2020 à 12:26 (CEST)