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Loi demi-normale
Paramètres
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
Support
y
∈
[
0
,
+
∞
[
{\displaystyle y\in [0,+\infty [\,}
Densité de probabilité
2
σ
π
exp
(
−
y
2
2
σ
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
Fonction de répartition
∫
0
y
1
σ
2
π
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx}
Espérance
σ
2
π
{\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}
Variance
σ
2
(
1
−
2
π
)
{\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)}
Entropie
1
2
log
(
π
σ
2
2
)
+
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}}
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée .
Soit
X
{\displaystyle X}
variable aléatoire de loi normale centrée,
X
∼
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}
Y
=
|
X
|
{\displaystyle Y=|X|}
σ
{\displaystyle \sigma }
La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par :
f
Y
(
y
;
θ
)
=
{
2
σ
π
exp
(
−
y
2
2
σ
2
)
si
y
>
0
0
sinon.
{\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
L'espérance est :
E
[
Y
]
=
μ
=
σ
2
π
{\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}
En faisant le changement de variable :
θ
=
π
σ
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}
σ
{\displaystyle \sigma }
f
Y
(
y
;
θ
)
=
{
2
θ
π
exp
(
−
y
2
θ
2
π
)
si
y
>
0
0
sinon.
{\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\begin{cases}{\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
L'espérance est alors :
E
[
Y
]
=
μ
=
1
θ
{\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}
La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par :
F
Y
(
y
;
σ
)
=
{
∫
0
y
1
σ
2
π
exp
(
−
x
2
2
σ
2
)
d
x
si
y
>
0
0
sinon.
{\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
En utilisant le changement de variable
z
=
x
/
(
2
σ
)
{\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}
F
Y
(
y
;
σ
)
=
{
2
π
∫
0
y
/
(
2
σ
)
exp
(
−
z
2
)
d
z
=
erf
(
y
2
σ
)
,
si
y
>
0
0
sinon.
{\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\mbox{erf}}\left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
où erf est la fonction d'erreur .
La variance est :
Var
(
Y
)
=
σ
2
(
1
−
2
π
)
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}
Puisqu'elle est proportionnelle à la variance
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
X ,
σ
{\displaystyle \sigma }
paramètre d'échelle de cette nouvelle loi.
L'entropie de la loi demi-normale est
H
(
Y
)
=
1
2
log
(
π
σ
2
2
)
+
1
2
.
{\displaystyle H(Y)={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}.}
La loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée avec μ = 0.
(
Y
σ
)
2
{\displaystyle ({\frac {Y}{\sigma }})^{2}}
loi du χ² à un degré de liberté.
![{\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cc78b7f3c9760bae022565c5c0b8761e5fc195)
![{\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88fcaabc9e24c8b4f5c5a331bdff66b1d9aa1f9)
![{\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274d2dc4163af941c54152559ae339fd4d9a6213)
![{\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\mbox{erf}}\left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}&{\text{ si }}y>0\\[3pt]0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96f259a4dd6049e2cedaa18ea74b3d687903509)
