Loi hypo-exponentielle

Loi hypo-exponentielle
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	n=1,2,... $\lambda _{i}>0$
Support	$x\in [0;\infty [\!$
Densité de probabilité	$\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\lambda _{i}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}$
Fonction de répartition	$1-\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}$
Espérance	$\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}\,$
Médiane	$\ln(2)\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}\,$
Variance	$\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2}$
Asymétrie	$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda _{i}^{2}}}$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi hypo-exponentielle ou loi d'Erlang généralisée est une loi de probabilité continue, à support semi-infini qui trouve des applications dans les mêmes domaines que la loi d'Erlang : théorie des files d'attente, ingénierie de trafic, etc. Le terme hypo vient du fait que le coefficient de variation de la loi est inférieur à un, comparativement à la loi hyper-exponentielle dont le coefficient de variation est supérieur à un et à la loi exponentielle dont le coefficient vaut un.

Une variable aléatoire qui suit une loi hypo-exponentielle sera notée : $Y\sim \mathrm {Hypo} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$.

Définition

La loi hypo-exponentielle définie comme la loi de la somme de n variables aléatoires ${\textstyle X_{i},\,i=1,\dots ,n}$ de loi exponentielle indépendantes de paramètres respectifs : ${\textstyle \lambda _{i},\,i=1,\dots ,n}$ :

$Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ avec $X_{i}\sim {\mathcal {E}}(\lambda _{i})$.

Le coefficient de variation minimum de la loi hypo-exponentielle est $1/n$.

Densité de probabilité

Dans le cas où les paramètres ${\textstyle \lambda _{i}}$ sont tous distincts, la densité de probabilité de la loi hypo-exponentielle se calcule par récurrence pour obtenir la formule :

$f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\lambda _{i}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon }}\end{cases}}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi hypo-exponentielle est donnée par :

$F_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle 1-\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon }}\end{cases}}$

avec le même critère pour le paramètres ${\textstyle \lambda _{i}\;:\;\lambda _{i}\neq \lambda _{j},{\text{ si }}i\neq j}$.