נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת , הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית המרוכבת לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס . הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר .
הנוסחה קובעת כי:
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle \ e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }}
θ
{\displaystyle \ \theta }
ממשי , כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה . את
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle \cos {\theta }+i\sin {\theta }}
c
i
s
θ
{\displaystyle \ cis{\theta }}
לנוסחה שימושים רבים, בין היתר היא מסייעת בפתרון משוואות דפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים, שלהן יישומים רבים בפיזיקה ובהנדסה.
זהות אוילר כאשר מציבים בנוסחה את
π
{\displaystyle \ \pi }
θ
{\displaystyle \ \theta }
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle \ e^{i\pi }=-1}
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle \ e^{i\pi }+1=0}
זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.
הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר בהינתן מספר מרוכב
z
{\displaystyle z}
l
{\displaystyle l}
מישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה
z
{\displaystyle z}
l
{\displaystyle l}
r
{\displaystyle r}
ערך המוחלט של
z
{\displaystyle z}
זווית (ברדיאנים ) בין הכיוון החיובי של הציר הממשי ל-
l
{\displaystyle l}
כיוון השעון ),
θ
{\displaystyle \theta }
ארגומנט של
z
{\displaystyle z}
(
r
,
θ
)
{\displaystyle (r,\theta )}
הצגה הקוטבית של
z
{\displaystyle z}
אם נציג את
z
{\displaystyle z}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
משולש ישר-זווית שיתרו הוא
l
{\displaystyle l}
פונקציות הטריגונומטריות מתקיים
x
=
r
cos
θ
{\displaystyle x=r\cos \theta }
y
=
r
sin
θ
{\displaystyle y=r\sin \theta }
z
=
x
+
i
y
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }}
הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם:
z
1
⋅
z
2
=
r
1
e
i
θ
1
⋅
r
2
e
i
θ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
+
θ
2
)
{\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\cdot r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}}
מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle \ (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)}
(
e
i
x
)
n
=
e
i
(
n
x
)
{\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{i(nx)}}
מנוסחת אוילר נובע שההעתקה
f
(
x
)
=
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \ f(x)=e^{ix}=\cos x+i\sin x}
הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור , אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל . זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן
f
(
x
)
=
f
(
x
+
2
π
)
{\displaystyle f(x)=f(x+2\pi )}
הגרעין של
f
{\displaystyle f}
2
π
Z
{\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }
משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-
R
/
2
π
Z
{\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }
R
/
Z
{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }
קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.
זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של
i
{\displaystyle \ i}
i
4
n
=
1
,
i
4
n
+
1
=
i
,
i
4
n
+
2
=
−
1
,
i
4
n
+
3
=
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}i^{4n}&{}=1,\quad &i^{4n+1}&{}=i,\quad &i^{4n+2}&{}=-1,\quad &i^{4n+3}&{}=-i\end{aligned}}}
לכל n שלם . אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות
e
x
{\displaystyle \ e^{x}}
cos
(
x
)
{\displaystyle \ \cos(x)}
sin
(
x
)
{\displaystyle \ \sin(x)}
טור טיילור שלהן סביב 0:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .\end{aligned}}}
עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי
x
{\displaystyle \ x}
i
θ
{\displaystyle \ i\theta }
θ
{\displaystyle \ \theta }
לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:
e
i
θ
=
1
+
i
θ
+
(
i
θ
)
2
2
!
+
(
i
θ
)
3
3
!
+
(
i
θ
)
4
4
!
+
(
i
θ
)
5
5
!
+
(
i
θ
)
6
6
!
+
(
i
θ
)
7
7
!
+
(
i
θ
)
8
8
!
+
⋯
=
1
+
i
θ
−
θ
2
2
!
−
i
θ
3
3
!
+
θ
4
4
!
+
i
θ
5
5
!
−
θ
6
6
!
−
i
θ
7
7
!
+
θ
8
8
!
+
⋯
=
(
1
−
θ
2
2
!
+
θ
4
4
!
−
θ
6
6
!
+
θ
8
8
!
−
⋯
)
+
i
(
θ
−
θ
3
3
!
+
θ
5
5
!
−
θ
7
7
!
+
⋯
)
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&{}=1+i\theta +{\frac {(i\theta )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\theta )^{4}}{4!}}+{\frac {(i\theta )^{5}}{5!}}+{\frac {(i\theta )^{6}}{6!}}+{\frac {(i\theta )^{7}}{7!}}+{\frac {(i\theta )^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+i\theta -{\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {i\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {i\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-{\frac {i\theta ^{7}}{7!}}+{\frac {\theta ^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+{\frac {\theta ^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos \theta +i\sin \theta \end{aligned}}}
(החלפת סדר האיברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט ).
נגדיר את הפונקציה
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
x
{\displaystyle \ x}
f
(
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
{\displaystyle f(x)=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\ }
הנגזרת של (f (x, לפי חוק המכפלה , היא:
d
d
x
f
(
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
d
d
x
e
−
i
x
+
d
d
x
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
(
−
i
e
−
i
x
)
+
(
−
sin
x
+
i
cos
x
)
⋅
e
−
i
x
=
(
−
i
cos
x
−
i
2
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
+
(
−
sin
x
+
i
cos
x
)
⋅
e
−
i
x
(
i
2
=
−
1
)
=
(
−
i
cos
x
+
sin
x
−
sin
x
+
i
cos
x
)
⋅
e
−
i
x
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)&{}=(\cos x+i\sin x)\cdot {\frac {d}{dx}}e^{-ix}+{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\\&{}=(\cos x+i\sin x)(-ie^{-ix})+(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\\&{}=(-i\cos x-i^{2}\sin x)\cdot e^{-ix}+(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\\&{}=(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}\\&{}=0\end{aligned}}}
לכן,
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
פונקציה קבועה ביחס ל-
x
{\displaystyle \ x}
f
(
0
)
{\displaystyle \ f(0)}
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
x
{\displaystyle \ x}
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
=
f
(
x
)
=
f
(
0
)
=
(
cos
0
+
i
sin
0
)
⋅
e
0
=
1
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=f(x)=f(0)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{0}=1\,}
על ידי הכפלת שני הצדדים ב-
e
i
x
{\displaystyle \ e^{ix}}
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
⋅
e
i
x
=
1
⋅
e
i
x
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}\cdot e^{ix}=1\cdot e^{ix}\,}
נקבל כי:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }
ניתן להכליל את נוסחת אוילר מהמספרים המרוכבים אל הקווטרניונים על ידי הנוסחה
exp
(
x
r
)
=
cos
x
+
r
sin
x
,
{\displaystyle \exp(xr)=\cos x+r\sin x\ ,}
ורסור .
ערך מורחב – זהות אוילר
