אנליזה מתמטית - מונחים
במונחון זה מופיעות לרבים מהמונחים הגדרות אינטואיטיביות. הגדרה פורמלית מופיעה בערך המתאים.
- חדו"א: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, Calculus, הענף המתמטי העוסק בתורת הגבולות, בפונקציות ממשיות ובחקירת התכונות של נגזרות ואינטגרלים.
- סדרה: קבוצה בת מנייה של איברים שמסודרים בסדר מסוים, כך שלכל איבר יש איבר הבא מיד אחריו.
- תת סדרה: סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת.
- סדרת קושי: סדרה שהמרחק המקסימלי בין איבריה הולך וקטן כאשר מתעלמים ממספר גדל והולך של איברים בראשיתה.
- טור: סכום של איברי סדרה כלשהי.
- גבול: אינטואיטיבית - מספר כלשהו הוא גבול של הסדרה אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים ("שואפים") אל המספר הזה.
- משפט בולצאנו-ויירשטראס: מכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול.
- אינפיניטסימל: מספר הקטן עד כדי אינסוף, גודל שהוא בעל סתירה עצמית אך כלי מאוד יעיל לביצוע חישובים.
- פונקציה: כלל שמתאים לכל איבר מקבוצה אחת איבר יחיד מקבוצה אחרת.
- פונקציה ממשית: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים הממשיים.
- פונקציה קעורה: פונקציה קעורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מעל לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
- פונקציה קמורה: פונקציה קמורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מתחת לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
- פונקציה ליניארית: פונקציה שמתוארת על ידי קו ישר.
- פונקציה מונוטונית: פונקציה השומרת על מגמת עלייה או ירידה.
- פונקציה אנליטית: פונקציה נקראת אנליטית בנקודה Z, אם היא גזירה בנקודה Z וגם גזירה בסביבה כלשהי שלה (אפילו תחום קטן מאוד) ונקראת אנליטית בתחום D, אם היא אנליטית בכל הנקודות שבתחום D. במקרה שהתחום הוא אינסופי או אין תחום- היא אינה אנליטית.
- פונקציה מרוכבת: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים המרוכבים.
- פונקציה רציפה: אינטואיטיבית - פונקציה שניתן לצייר את הגרף שלה בלי להרים את העיפרון מהדף.
- רציפות במידה שווה: תכונה של פונקציה, שבאופן אינטואיטיבי פירושה שקצב ההשתנות של הפונקציה בקטע שבו היא רציפה במידה שווה הוא חסום.
- משפטים העוסקים ברציפות:
- משפט ערך הביניים: אינטואיטיבית - פונקציה רציפה לא "מדלגת" על ערכים. כלומר, אם הפונקציה מקבלת שני ערכים שונים בשתי נקודות שונות, היא תקבל גם כל ערך שבין שני ערכים אלה בקטע שקצותיו הם נקודות אלה.
- משפט ויירשטראס הראשון - פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו.
- משפט ויירשטראס השני - פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו ערך מקסימלי וערך מינימלי.
- משפט קנטור - פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה.
- נגזרת: פונקציה שמתקבלת מפונקציה אחרת, ומתארת את קצב ההשתנות של אותה פונקציה. נגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת שווה לשיפוע של המשיק לפונקציה באותה נקודה.
- משפטים העוסקים בנגזרות:
- משפט פרמה - אם לפונקציה גזירה יש נקודת קיצון בנקודה מסוימת, נגזרתה מתאפסת באותה נקודה.
- משפט רול - אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, נגזרתה מתאפסת באחת מנקודות הקטע.
- משפט הערך הממוצע של לגראנז' - הכללה של משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה.
- משפט הערך הממוצע של קושי - הכללה של משפט לגראנז'.
- משפט דארבו - אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע.
- כלל לופיטל - כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול מנת הנגזרות שלהן.
- אינטגרל:
- אינטגרל מסוים: הכללה של מושג הסכום. אינטגרל של פונקציה ממשית חיובית שווה לשטח הכלוא בין הגרף שלה לציר ה.
- אינטגרל לא מסוים: אוסף הפונקציות הקדומות של פונקציה כלשהי.
- אינטגרל התלוי בפרמטר: אינטגרל שערכו מותנה בפרמטר הניתן לו - כלומר, הוא פונקציה של הפרמטר.
- אינטגרל כפול: אינטגרל על פונקציה בעלת שני משתנים, שמוגדרת על תחום במישור.
- משפטים העוסקים באינטגרלים:
- המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי - המשפט הקושר את מושגי הנגזרת, האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא מסוים.
- טור טיילור: קירוב לפונקציה על ידי פולינום סופי, שמקדמיו תלויים בערכי נגזרת הפונקציה בנקודה מסוימת. כמו כן ניתן להעריך את הקירוב המושג על ידי הפולינום (השארית).
- שיטת ניוטון-רפסון: שיטת קירוב איטרטיבית למציאת שורשים של פונקציה באמצעות הנגזרת שלה.
